Разное

Дт 20 кт 70: Дебет 20 / Кредит 70

08.10.1981

Содержание

Для чего необходим счет 20 в бухгалтерском учете

Счет 20 «Основное производство» используется для того, чтобы собрать всю информацию по производственным процессам, которые осуществляются на предприятии. При этом на нем отражаются затраты, которые понесла организация при изготовлении собственной продукции. К ним можно отнести, к примеру, оплату труда, стоимость использованных материалов, электроэнергию и др.

Счет 20 используется в бухгалтерском учете самых разных предприятий, будь то сельскохозяйственные, промышленные, ремонтно-технические, транспортные или строительные организации. Как правило, все они изготавливают какую-либо продукцию, а потому подобные расходы должны учитываться в специальном порядке.

Счет 20 в бухгалтерском учете применяется только тогда, когда деятельность предприятия имеет производственную направленность, то есть организация изготавливает какую-либо продукцию. В этом случае у нее возникают самые разнообразные производственные издержки, которые как раз и отражаются на этом счете.

Кроме того, здесь также собираются расходы, которые только косвенно относятся к производству, но помогают его осуществить — издержки по управлению и обслуживанию основного направления деятельности.

Этот счет является активным, то есть по его дебету собираются все произведенные затраты, а по кредиту они списываются на соответствующие счета.

«Основное производство» имеет собственные субсчета, предназначенные для отражения затрат по направлениям деятельности. К ним относятся:

Субсчета

Комментарий

20.1 Растениеводство

Здесь отражаются издержки, связанные с получением продукции садоводства, цветоводства или питомников

20.2 Животноводство

Здесь отражаются издержки, связанные с получением продукции скотоводства, рыбоводства, пчеловодства

20.3 Промышленные производства

Здесь отражаются издержки, связанные с получением промышленной продукции, а также оказанием услуг ремонтных и вспомогательных производств

20. 4 Прочие основные производства

Здесь отражаются затраты, связанные с осуществлением мероприятий, косвенно связанных с основным производством, но влияющих на него.

Расходы по основному направлению

Необходимо отметить, что расходы, списываемые в основное направление деятельности — это прямые издержки, которые предприятие осуществляет с той целью, чтобы изготовить продукцию. К примеру, для того чтобы изготовить бурильную трубу, необходимо затратить определенное количество стальной трубы, стоимость которой отражается на 20 счете. Кроме того, необходимо затратить и другие материалы, сопутствующие производственному процессу, и они тоже отражаются именно здесь. Также зарплата рабочих относится к прямым издержкам, поскольку она по правилам экономической науки входит в прямые расходы на изготовление товаров.

Кроме того, после проведения определенных манипуляций сюда же переносятся и косвенные издержки, которые напрямую не входят в производственный процесс, но определенным образом влияют на него. Примером таких расходов может служить потребленное количество электроэнергии, воды или тепла, доля заработной платы управленческого персонала, осуществление ремонта оборудования. Вначале они собираются на других соответствующих счетах, а затем переправляются на главное направление деятельности.

Нормативная база

Отражение информации по основному производству регламентируется Приказом МинФин РФ «Об утверждении Плана счетов бухгалтерского учета» № 94н от 31.10.2000 г., Приказом Минсельхоза РФ «Об утверждении Плана счетов бухгалтерского учета» № 654 от 13.06.2001 г.

Проводки и операции

Все операции, имеющие производственные затраты, необходимо собирать на дебете основного производства, и при этом формируются проводки:

Дт 20 Кт 10 — материалы, сырье или комплектующие направлены на изготовление продукции

Дт 20 Кт 60 — отражена стоимость работ и услуг других хозяйствующих субъектов

Дт 20 Кт 70 — отражены расходы на заработную плату производственных сотрудников 

Дт 20 Кт 71 — приняты к учету расходы по подотчетным суммам

Также по дебету отражаются затраты, относящиеся к вспомогательному сектору или общехозяйственным расходам. Такие затраты выражаются следующим образом:

Дт 20 Кт 23 — на главное направление перенесены издержки вспомогательного сектора

Дт 20 К 25 — на главное направление перенесены общепроизводственные издержки

Дт 20 Кт 26 — на главное направление перенесены общехозяйственные издержки

Формируемая на 20 счете себестоимость производимой продукции затем списывается на счет 40 «Выпуск продукции»

Дт 40 Кт 20 — списана изготовленная продукция по ее фактической (действительной) себестоимости

Организация может вводить дополнительные синтетические счета по, пособие для начинающего бухгалтера

Содержание хозяйственных операций Корреспонденция счетов подробнее
Отражение начисления амортизации Дт 20 , 23Счет 23 — Вспомогательные производства (Активные) Кт 02Счет 02 — Амортизация основных средств (Пассивные) , 02Счет 02 — Амортизация основных средств (Пассивные)
Учет операций по передаче приобретенного имущества в лизинг Дт 20 Кт 02Счет 02 — Амортизация основных средств (Пассивные) , 05Счет 05 — Амортизация нематериальных активов (Пассивные)
Отражается амортизация основных средств, использованных в основном производстве Дт 20 Кт 02Счет 02 — Амортизация основных средств (Пассивные)
Начислена амортизация основных средств в основном производстве Дт 20 Кт 02Счет 02 — Амортизация основных средств (Пассивные)
начислена амортизация по зданию Дт 20 Кт 02Счет 02 — Амортизация основных средств (Пассивные)
Начислена амортизация на объекты основных средств, используемых в производстве Дт 20 Кт 02Счет 02 — Амортизация основных средств (Пассивные)
Отражение ежемесячного начисления амортизации Дт 20 , 26Счет 26 — Общехозяйственные расходы (Активные) Кт 04Счет 04 — Нематериальные активы (Активные)
Начисление амортизации по объектам нематериальных активов Дт 20 Кт 04Счет 04 — Нематериальные активы (Активные)
Отражается амортизация НМА, использованных в основном производстве Дт 20 Кт 05Счет 05 — Амортизация нематериальных активов (Пассивные)
Начислена амортизация патента, используемого в основном производстве Дт 20 Кт 05Счет 05 — Амортизация нематериальных активов (Пассивные)
Начисление амортизации нематериальных активов, используемым в основном производстве. Дт 20 Кт 05Счет 05 — Амортизация нематериальных активов (Пассивные)
расходы на строительство Дт 20 Кт 08Счет 08 — Вложения во внеоборотные активы (Активные)
Отражение материалов и малоценных предметов Дт 20 Кт 10Счет 10 — Материалы (Активные)
Учет стоимости списанных в производство материалов Дт 20 Кт 10Счет 10 — Материалы (Активные)
Списание материалов в производство Дт 20 Кт 10Счет 10 — Материалы (Активные)
отражены прямые производственные затраты (сырье и материалы) Дт 20 Кт 10Счет 10 — Материалы (Активные)
Списаны материалы на затраты по производству продукции (выполнению работ, оказанию услуг) Дт 20 Кт 10Счет 10 — Материалы (Активные)
Списание материалов, инвентаря, спецодежды и прочего на основное производство Дт 20 Кт 10Счет 10 — Материалы (Активные)
себестоимость материалов, израсходованных на производство продукции Дт 20 Кт 10Счет 10 — Материалы (Активные)
списано материалы в производство Дт 20 Кт 10Счет 10 — Материалы (Активные)
Списание стоимости животных Дт 20 Кт 11Счет 11 — Животные на выращивании и откорме (Активные)
Начисление суммы отклонений Дт 20 Кт 16Счет 16 — Отклонение в стоимости материальных ценностей (Активно-пассивные)
списано отклонение в стоимости материалов Дт 20 Кт 16Счет 16 — Отклонение в стоимости материальных ценностей (Активно-пассивные)
Списана сумма отклонений (перерасход) по итогам отчетного месяца (ТМЦ переданы основное производство) Дт 20 Кт 16Счет 16 — Отклонение в стоимости материальных ценностей (Активно-пассивные)
Внутрипроизводственный оборот Дт 20 Кт 20
Передача полуфабрикатов собственного производства для дальнейшей переработки в основное производство Дт 20 Кт 21Счет 21 — Полуфабрикаты собственного производства (Активные)
Отпущены полуфабрикаты собственного производства на производство продукции Дт 20 Кт 21Счет 21 — Полуфабрикаты собственного производства (Активные)
Отнесение на издержки производства (расходы на продажу) затрат Дт 20 , 29Счет 29 — Обслуживающие производства и хозяйства (Активные) Кт 23Счет 23 — Вспомогательные производства (Активные)
Списаны на затраты основного производства услуги вспомогательных производств Дт 20 Кт 23Счет 23 — Вспомогательные производства (Активные)
вспомогательные работы отнесены на основное производство Дт 20 Кт 23Счет 23 — Вспомогательные производства (Активные)
Включение потерь от брака в себестоимость продукции Дт 20 Кт 28Счет 28 — Брак в производстве (Активно-пассивные)
Включение потерь от брака в себестоимость продукции Дт 20 Кт 28Счет 28 — Брак в производстве (Активно-пассивные)
Списание брака на себестоимость Дт 20 Кт 28Счет 28 — Брак в производстве (Активно-пассивные)
Использование услуг обслуживающих производств и хозяйств в основном производстве Дт 20 Кт 29Счет 29 — Обслуживающие производства и хозяйства (Активные)
Списание плановой (нормативной) себестоимости продукции Дт 20 Кт 40Счет 40 — Выпуск продукции (работ, услуг) (Активные)
Отпуск товаров, приобретенные для перепродажи Дт 20 Кт 41Счет 41 — Товары (Активные)
Отпуск готовой продукции на собственные нужды Дт 20 Кт 43Счет 43 — Готовая продукция (Активные)
Готовая продукция отпущена на нужды основного производства Дт 20 Кт 43Счет 43 — Готовая продукция (Активные)
Акцепт счета подрядной организации на услуги по договору подряда Дт 20 , 23Счет 23 — Вспомогательные производства (Активные) Кт 60Счет 60 — Расчеты с поставщиками и подрядчиками (Активно-пассивные)
Акцепт счетов поставщиков Дт 20 Кт 60Счет 60 — Расчеты с поставщиками и подрядчиками (Активно-пассивные)
Принятие к оплате счетов поставщиков за выполненные ими работы и оказан- ные услуги, в том числе предоставление энергии, газа, пара, воды, услуг связи и т.п. для цехов основного производства Дт 20 Кт 60Счет 60 — Расчеты с поставщиками и подрядчиками (Активно-пассивные)
Отражены работы (услуги) производственного характера, выполненные сторонними организациями Дт 20 Кт 60Счет 60 — Расчеты с поставщиками и подрядчиками (Активно-пассивные)
Начисление налогов и сборов Дт 20 Кт 68-НДССчет 68-НДС — Расчеты по налогам и сборам (Пассивные)
Начисление единого социального налога Дт 20 , 26Счет 26 — Общехозяйственные расходы (Активные) Кт 69Счет 69 — Расчеты по социальному страхованию и обеспечению (Пассивные)
начислены страховые взносы работникам основного производства Дт 20 Кт 69Счет 69 — Расчеты по социальному страхованию и обеспечению (Пассивные)
Начислена заработная плата рабочим основного производства Дт 20 Кт 70Счет 70 — Расчеты с персоналом по оплате труда (Активно-пассивные)
Начислена заработная плата рабочим основного производства Дт 20 Кт 70Счет 70 — Расчеты с персоналом по оплате труда (Активно-пассивные)
начисление зарплаты Дт 20 Кт 70Счет 70 — Расчеты с персоналом по оплате труда (Активно-пассивные)
начислена зарплата рабочим Дт 20 Кт 70Счет 70 — Расчеты с персоналом по оплате труда (Активно-пассивные)
начислена зарплата персоналу Дт 20 Кт 70Счет 70 — Расчеты с персоналом по оплате труда (Активно-пассивные)
начисление зарплаты работникам основного производства Дт 20 Кт 70Счет 70 — Расчеты с персоналом по оплате труда (Активно-пассивные)
начислена заработная плата работникам основного производства Дт 20 Кт 70Счет 70 — Расчеты с персоналом по оплате труда (Активно-пассивные)
начислена заработная плата работнику основного производства Дт 20 Кт 70Счет 70 — Расчеты с персоналом по оплате труда (Активно-пассивные)
начислена зарплата рабочим основного производства Дт 20 Кт 70Счет 70 — Расчеты с персоналом по оплате труда (Активно-пассивные)
начислена заработная плата работникам промышленного производства Дт 20 Кт 70Счет 70 — Расчеты с персоналом по оплате труда (Активно-пассивные)
начисление зарплаты рабочим основного производства Дт 20 Кт 70Счет 70 — Расчеты с персоналом по оплате труда (Активно-пассивные)
учтены израсходованные подотчетными лицами суммы расходов основного производства Дт 20 Кт 71Счет 71 — Расчеты с подотчетными лицами (Активно-пассивные)
Оплачены подотчетными лицами расходы для нужд основного производства Дт 20 Кт 71Счет 71 — Расчеты с подотчетными лицами (Активно-пассивные)
списаны расходы подотчетного лица, необходимые для нужд основного производства Дт 20 Кт 71Счет 71 — Расчеты с подотчетными лицами (Активно-пассивные)
Начисление компенсации за износ личного имущества Дт 20 , 26Счет 26 — Общехозяйственные расходы (Активные) Кт 73Счет 73 — Расчеты с персоналом по прочим операциям (Активно-пассивные)
Взнос учредителями в уставный капитал затрат основного производства Дт 20 Кт 75Счет 75 — Расчеты с учредителями (Активно-пассивные)
Признание в качестве расходов по обычным видам деятельности задолженности по текущему месячному платежу Дт 20 Кт 76Счет 76 — Расчеты с разными дебиторами и кредиторами (Активно-пассивные)
Включение задолженности страховым организациям в затраты основного производства Дт 20 Кт 76Счет 76 — Расчеты с разными дебиторами и кредиторами (Активно-пассивные)
начислена задолженность кредиторам за услуги производственного характера Дт 20 Кт 76Счет 76 — Расчеты с разными дебиторами и кредиторами (Активно-пассивные)
Включение в затраты основного производства затрат обособленных подразделений Дт 20 Кт 79Счет 79 — Внутрихозяйственные расчеты (Активно-пассивные)
Принятие к учету объема незавершенного производства Дт 20 Кт 80Счет 80 — Уставный капитал (Пассивные)
Принятие к учету объема незавершенного производства Дт 20 Кт 86Счет 86 — Целевое финансирование (Пассивные)
Отпуск ценностей, оставшихся при выбытии активов Дт 20 Кт 91Счет 91 — Прочие доходы и расходы (Активно-пассивные)
Включение сумм недостач и потерь от порчи ценностей Дт 20 Кт 94Счет 94 — Недостачи и потери от порчи ценностей (Активно-пассивные)
Отнесение выявленной недостачи на затраты основного производства Дт 20 Кт 94Счет 94 — Недостачи и потери от порчи ценностей (Активно-пассивные)
Недостачи и потери от порчи ценностей в пределах норм естественной убыли учтены в составе затрат основного производства Дт 20 Кт 94Счет 94 — Недостачи и потери от порчи ценностей (Активно-пассивные)
списана недостача материалов при инвентаризации по нормам естественной убыли Дт 20 Кт 94Счет 94 — Недостачи и потери от порчи ценностей (Активно-пассивные)
Отражение суммы ежемесячных отчислений в резерв на ремонт объектов основных средств Дт 20 , 23Счет 23 — Вспомогательные производства (Активные) Кт 96Счет 96 — Резервы предстоящих расходов (Пассивные)
Начисление сумм в резерв предстоящих расходов за счет себестоимости продукции Дт 20 Кт 96Счет 96 — Резервы предстоящих расходов (Пассивные)
Создание резерва на оплату отпусков Дт 20 Кт 96Счет 96 — Резервы предстоящих расходов (Пассивные)
Отражение суммы ежемесячных отчислений в резерв на ремонт объектов основных средств Дт 20 Кт 96Счет 96 — Резервы предстоящих расходов (Пассивные)
Признание в производственной себестоимости продукции затрат по ремонту объектов основных средств Дт 20 , 23Счет 23 — Вспомогательные производства (Активные) Кт 97Счет 97 — Расходы будущих периодов (Активные)
Списание возвратной части стоимости постельных принадлежностей при их списании Дт 20 Кт 97Счет 97 — Расходы будущих периодов (Активные)
Включение доли расходов будущих периодов Дт 20 Кт 97Счет 97 — Расходы будущих периодов (Активные)
Списаны расходы будущих периодов на расходы основного производства Дт 20 Кт 97Счет 97 — Расходы будущих периодов (Активные)
Отражение ежемесячного начисления амортизации Дт 20 Кт 08-5Счет 08-5 — Приобретение нематериальных активов (Активные)
Отпущена краска на отделку офиса Дт 20 Кт 10-1Счет 10-1 — Сырье и материалы (Активные)
Отпущены материалы на производство продукции Дт 20 Кт 10-1Счет 10-1 — Сырье и материалы (Активные)
Отпущены со склада материалы по учётным ценам Дт 20 Кт 10-1Счет 10-1 — Сырье и материалы (Активные)
отпущены материалы на производство готовой продукции Дт 20 Кт 10-1Счет 10-1 — Сырье и материалы (Активные)
Отпущены со склада в производство: Например, каменный уголь Дт 20 Кт 10-2Счет 10-2 — Покупные полуфабрикаты и комплектующие изделия, конструкции и детали (Активные)
Списание на затраты стоимости израсходованного бензина Дт 20 , 23Счет 23 — Вспомогательные производства (Активные) Кт 10-3Счет 10-3 — Топливо (Активные)
Сторнирование стоимости излишне списанного на затраты бензина Дт 20 Кт 10-3Счет 10-3 — Топливо (Активные)
Сторнирование стоимости излишне списанного на затраты бензина Дт 20 Кт 10-3Счет 10-3 — Топливо (Активные)
Отпущено топливо: основному производству на технические цели Дт 20 Кт 10-3Счет 10-3 — Топливо (Активные)
Списаны материалы на изготовление готовой продукции Дт 20 Кт 10-7Счет 10-7 — Материалы, переданные в переработку на сторону (Активные)
Списаны запчасти при оказании услуг сторонней организации по ремонту автомобиля Дт 20 Кт 10-7Счет 10-7 — Материалы, переданные в переработку на сторону (Активные)
Списание полной стоимости малоценного предмета, переданного в эксплуатацию Дт 20 , 23Счет 23 — Вспомогательные производства (Активные) Кт 10-9Счет 10-9 — Инвентарь и хозяйственные принадлежности (Активные)
Списание на затраты суммы скидки (50%) со стоимости форменной одежды Дт 20 , 44Счет 44 — Расходы на продажу (Активные) Кт 10-9Счет 10-9 — Инвентарь и хозяйственные принадлежности (Активные)
Списание стоимости постельных принадлежностей, переданных в эксплуатацию Дт 20 Кт 10-9Счет 10-9 — Инвентарь и хозяйственные принадлежности (Активные)
переданы со склада инвентарь и хоз. принадлежности в основное производство Дт 20 Кт 10-9Счет 10-9 — Инвентарь и хозяйственные принадлежности (Активные)
списана стоимость спецодежды Дт 20 Кт 10-1Счет 10-1 — Сырье и материалы (Активные) 1
Отнесение на себестоимость суммы НДС по бензину Дт 20 , 26Счет 26 — Общехозяйственные расходы (Активные) Кт 19-3Счет 19-3 — Налог на добавленную стоимость по приобретенным материально-производственным запасам (Активные)
Отнесение НДС на себестоимость основного производства Дт 20 Кт 19-3Счет 19-3 — Налог на добавленную стоимость по приобретенным материально-производственным запасам (Активные)
Отпуск товаров, приобретенные для перепродажи, на нужды основного производства Дт 20 Кт 41-1Счет 41-1 — Товары на складах (Активные)
начислены страховые взносы Дт 20 Кт 69-1Счет 69-1 — Расчеты по социальному страхованию (Пассивные)
Начислены взносы с заработной платы работников, подлежащие перечислению в Фонд социального страхования Дт 20 Кт 69-1Счет 69-1 — Расчеты по социальному страхованию (Пассивные)
Отражение начисления страховых взносов в соответствии с условиями договора страхования объекта основных средств Дт 20 , 26Счет 26 — Общехозяйственные расходы (Активные) Кт 76-1Счет 76-1 — Расчеты по имущественному и личному страхованию (Активно-пассивные)
Начисление по гражданско-правовому договору Дт 20 Кт
Включение общехозяйственных расходов в себестоимость продукции Дт 20 Кт 26Счет 26 — Общехозяйственные расходы (Активные)
Списаны общехозяйственные расходы, связанные с деятельностью основного производства, при учете продукции по полной производственной себестоимости Дт 20 Кт 26Счет 26 — Общехозяйственные расходы (Активные)
Включение в себестоимость общепроизводственных расходов Дт 20 Кт 25Счет 25 — Общепроизводственные расходы (Активные)
Включение общепроизводственных расходов в себестоимость продукции Дт 20 Кт 25Счет 25 — Общепроизводственные расходы (Активные)
Доля общепроизводственных расходов включена в затраты основного производства Дт 20 Кт 25Счет 25 — Общепроизводственные расходы (Активные)
списана доля общепроизводственных расходов на затраты по содержанию основного производства Дт 20 Кт 25Счет 25 — Общепроизводственные расходы (Активные)
Включена доля общепроизводственных расходов в затраты основного производства Дт 20 Кт 25Счет 25 — Общепроизводственные расходы (Активные)
в конце месяца списаны общепроизводственные расходы на затраты производства Дт 20 Кт 25Счет 25 — Общепроизводственные расходы (Активные)
Списание организацией — подрядчиком сальдо затрат на строительство временных титульных зданий и сооружений Дт 20 , 97Счет 97 — Расходы будущих периодов (Активные) Кт
Списание стоимости транспортных услуг Дт 20 Кт
Списание стоимости ремонтных услуг Дт 20 Кт
Поступили основные средства из производства Дт 01Счет 01 — Основные средства (Активные) Кт 20
Принятие к учету отходов из основного и вспомогательного производства Дт 10Счет 10 — Материалы (Активные) Кт 20 , 23Счет 23 — Вспомогательные производства (Активные)
Оприходование отходов производства, неисправимого брака Дт 10Счет 10 — Материалы (Активные) Кт 20 , 28Счет 28 — Брак в производстве (Активно-пассивные)
поступили на склад материалы, изготовленные собственными силами Дт 10Счет 10 — Материалы (Активные) Кт 20
Поступление материалов, изготовленных собственными силами Дт 10Счет 10 — Материалы (Активные) Кт 20
Возвращена на склад часть материалов из основного производства Дт 10Счет 10 — Материалы (Активные) Кт 20
Увеличение стоимости животных за счет привеса Дт 11Счет 11 — Животные на выращивании и откорме (Активные) Кт 20
Списание работ, услуг основного производства Дт 15Счет 15 — Заготовление и приобретение материальных ценностей (Активные) Кт 20
Внутрипроизводственный оборот Дт 20 Кт 20
Принятие к учету полуфабрикатов основного производства Дт 21Счет 21 — Полуфабрикаты собственного производства (Активные) Кт 20
Отражение потерь от неисправимого брака продукции Дт 28Счет 28 — Брак в производстве (Активно-пассивные) Кт 20
Списание фактических затрат на себестоимость готовой продукции Дт 40Счет 40 — Выпуск продукции (работ, услуг) (Активные) Кт 20
Передана из основного производства на склад готовая продукция по ее плановой (фактической) себестоимости Дт 40Счет 40 — Выпуск продукции (работ, услуг) (Активные) Кт 20
Выпущена из производства готовая продукция и сдана на склад Дт 40Счет 40 — Выпуск продукции (работ, услуг) (Активные) Кт 20
Принятие к учету готовой компьютерной программы Дт 43Счет 43 — Готовая продукция (Активные) Кт 20
сдача готовой продукции на склад из производства Дт 43Счет 43 — Готовая продукция (Активные) Кт 20
Оприходована готовая продукция Дт 43Счет 43 — Готовая продукция (Активные) Кт 20
Оприходована на складе готовая продукция, выпущенная основным производством Дт 43Счет 43 — Готовая продукция (Активные) Кт 20
оприходована из производства готовая продукция на склад Дт 43Счет 43 — Готовая продукция (Активные) Кт 20
отражена стоимость готовой продукции, выпущенной основным производством Дт 43Счет 43 — Готовая продукция (Активные) Кт 20
списаны затраты на реализацию готовой продукции Дт 43Счет 43 — Готовая продукция (Активные) Кт 20
Передача сторонним лицам продукции (работ, услуг) основного производства Дт 45Счет 45 — Товары отгруженные (Активные) Кт 20
Уменьшение стоимости незавершенного основного производства Дт 76Счет 76 — Расчеты с разными дебиторами и кредиторами (Активно-пассивные) Кт 20
Выполнение силами основного производства работ Дт 79Счет 79 — Внутрихозяйственные расчеты (Активно-пассивные) Кт 20
Списание фактической себестоимости Дт 90Счет 90 — Продажи (Активно-пассивные) Кт 20
Отражение недостач, выявленных в незавершенном основном производстве Дт 94Счет 94 — Недостачи и потери от порчи ценностей (Активно-пассивные) Кт 20
Отражена недостача незавершённого производства, выявленная при инвентаризации Дт 94Счет 94 — Недостачи и потери от порчи ценностей (Активно-пассивные) Кт 20
Отнесение на убытки затрат основного производства Дт 99Счет 99 — Прибыли и убытки (Активно-пассивные) Кт 20
включены в состав чрезвычайных расходы на ремонт поврежденной машины, проведенный собственными силами. Дт 99Счет 99 — Прибыли и убытки (Активно-пассивные) Кт 20
дрова оприходованы на склад Дт 10-3Счет 10-3 — Топливо (Активные) Кт 20
Оприходованы возвратные материалы или собственные материальные ценности (например, тара) Дт 10-4Счет 10-4 — Тара и тарные материалы (Активные) Кт 20
Списание затрат организации — лизингодателя Дт 90-2Счет 90-2 — Себестоимость продаж (Активно-пассивные) Кт 20
Списание затрат на реализацию Дт 90-2Счет 90-2 — Себестоимость продаж (Активно-пассивные) Кт 20 , 26Счет 26 — Общехозяйственные расходы (Активные)
Признание расходом отчетного периода суммы затрат по законченному и при нятому этапу работ Дт 90-2Счет 90-2 — Себестоимость продаж (Активно-пассивные) Кт 20
списана фактическая производственная себестоимость реализованной готовой продукции Дт 90-2Счет 90-2 — Себестоимость продаж (Активно-пассивные) Кт 20
Списание работ (услуг) основного производства Дт 91-2Счет 91-2 — Прочие расходы (Активно-пассивные) Кт 20

Бухгалтер на производстве 2020: рассматриваем 8 актуальных вопросов

16.06.2020

Предприятие — это вид бизнеса, который является сложным не только с организационной точки зрения, но и в плане учета. При ведении бухучета на предприятии нужно учитывать множество нюансов. Рассмотрим все это подробнее.

1. Какие бывают затраты на производстве?

На любом производственном предприятии затраты можно разделить на две группы: прямые и косвенные. Несмотря на то, что каждое предприятие самостоятельно определяет перечень расходов, все-таки существуют основные, которые закреплены законодательством РФ.

К прямым расходам относятся:

  1. Сырье и материалы.
  2. Амортизация оборудования.
  3. Заработная плата рабочим и начисленные на нее страховые взносы.

Косвенные (накладные) расходы включают в себя:

  1. Общепроизводственные.
  2. Общехозяйственные (управленческие).

2. Калькулирование себестоимости: какой выбрать метод?

Для расчета себестоимости готовой продукции существует несколько методов. Каждый из них зависит от продукции, которую производит предприятие. Можно выделить 3 метода калькулирования:

  • Позаказный используется тогда, когда для каждого заказа составляется свой расчет себестоимости продукции. Сюда относятся: выпуск технически сложных изделий с длительным производственным циклом (машиностроение, кораблестроение), строительство и пр.
  • Попередельный используется, когда исходное сырье проходит несколько стадий переработки (пищевая, нефтедобывающая промышленность). Калькуляция рассчитывается на каждом промежуточном этапе.
  • Котловой означает, что все затраты учитываются все вместе. Себестоимость продукции получается при помощи деления всех затрат на объем выпуска.

3. Как учитывать и распределять затраты на производстве?

  • ДТ 20 — КТ 10 (60, 69, 70, 76 и т.п.). Прямые затраты показаны на счете 20 «Основное производство» со счетами по учету материалов, расчетов, заработной платы и пр.
  • ДТ 25 (26) — КТ 10 (60, 69, 70, 76). Общепроизводственные расходы (счет 25) и общехозяйственные (счет 26) в течение месяца учитываются аналогично прямым.
  • ДТ 20 – КТ 25. Общепроизводственные расходы по окончании месяца переносятся на счет 20.
  • Распределение общехозяйственных затрат:
    • ДТ 20 –КТ 26. Общехозяйственные затраты могут быть распределены аналогично общепроизводственным.
    • ДТ 90 – КТ 26. Общехозяйственные затраты могут быть перенесены на себестоимость.

4. Как учитывать себестоимости продукции?

Себестоимость продукции на производстве формируется двумя способами:

  • Фактический учет:
    • ДТ 43 — КТ 20. Производственные затраты переносятся на «Готовую продукцию» (счет 43).
    • ДТ 90 – КТ 43. После того, как продукция реализуется, себестоимость списывается.
  • Учет по плановой себестоимости. Этот способ широко применяется в тех случаях, когда продукция быстро производится и передается на склад. Появляется дополнительная графа «Выпуск продукции» (счет 40):
    • ДТ 43 — КТ 40. Готовая продукция учитывается по плановой себестоимости (в течение одного месяца).
    • ДТ 90 – КТ 43. Данный вариант аналогичен предыдущему, только списывается уже проданная продукция.
    • ДТ 40 – КТ 20. В конце месяца на счету будет показана фактическая себестоимость.
    • ДТ 43 – КТ 40. Если фактическая себестоимость больше плановой, тогда ее списывают в счет 43.
    • ДТ 43 – КТ 40. Если план по себестоимости не выполнен, необходимо сделать обратную запись в бухгалтерской книге.

5. Как вести учёт незавершенного производства?

Незавершенное производство — это продукция/работы, которые не успели закончиться по истечении производственного цикла. Связано это с тем, что зачастую производственный цикл не совпадает с календарным месяцем

Незавершенное производство в балансе представлено в графе ДТ 20. Рассчитывается следующим образом:

  • на основе прямых и общепроизводственных затрат;
  • на основе полной себестоимости (с учетом общехозяйственных расходов).

6. Как учитывать брак на производстве?

Существует отдельная графа «Брак в производстве» (счет 28) и рассчитывается следующим образом:

  • ДТ 28 – КТ 20. Себестоимость брака переносится с 28 на 20 счет.
  • ДТ 10 – КТ 28. Материалы, которые пошли на производство бракованной продукции, были частично использованы, тогда их оформляют как запасы.
  • С виновного лица, изготовившего брак, можно взыскать:
    • ДТ 73 — КТ 28. Сумма будет отнесена на расчеты работника.
    • ДТ 70 – КТ 73. Сумма будет вычтена с зарплаты работника.
  • ДТ 20 – КТ 28. Если сумма полностью не компенсирована, тогда остаток переносится на себестоимость товара.

7. Как вести бухгалтерский баланс на предприятии.

Активы — это все имущество предприятия, которым оно может распоряжаться для своей деятельности и получать с этого прибыль (Таблица 1).

Таблица 1

Активы предприятия

I. Внеоборотные активы

Это активы, которые находятся в балансе и используются более 1 года

Нематериальные активы (НМА)

деловая репутация, ноу-хау, патенты, лицензии

Основные средства (ОС)

земля, здания, сооружения, машины и оборудования и пр.

Капитальные вложения

вложения в материальные ценности, приносящие доход

Долгосрочные финансовые вложения

долгосрочные выданные займы и инвестиции

II. Оборотные активы

Это те активы, которые находятся в постоянном обороте, их полезное использование не более 1 года

Производственные запасы и затраты

сырье, материалы, товары

НДС по приобретениям

налог на добавленную стоимость

Готовая продукция

Дебиторская задолженность

задолженности других лиц перед вашим предприятием

Краткосрочные финансовые вложения

краткосрочные займы копаниям

Денежные средства

наличные и безналичные, в отечественной и иностранной валютах

Пассивы — это совокупность источников формирования средств предприятия (Таблица 2).

Таблица 2

Пассивы предприятия

III. Капитал и резервы

Это собственность предприятия

Уставный капитал

сумма средств, которую инвестировали собственники для того, чтобы предприятие заработало

Добавочный капитал

поступления, направленные на пополнение оборотных активов или в собственный капитал предприятия

Резервный капитал

часть имущества предприятия, используемая для размещения в данном разделе нераспределенной прибыли, для покрытия убытков и пр.

Нераспределенная прибыль

счет бухгалтерского учета нераспределенной прибыли, которую получила фирма в результате всей своей деятельности в отчётном периоде

IV. Долгосрочные обязательства

Это задолженность предприятия по долгосрочным кредитам (свыше 1 года) перед банками и другими организациями, у которых был взят кредит

Кредиты

Займы

V. Краткосрочные обязательства

Это задолженность по краткосрочным кредитам (менее 1 года) перед банками и другими организациями, дающими займ

Кредиты и займы

Кредиторская задолженность

8. Как вести бухучёт в 2020 году: рекомендации ФНС.

Организация бухгалтерского учета в 2020 году должна осуществляться в соответствии с изменениями, произошедшими в этом году. Рассмотрим их:

  • Бухгалтерская отчетность сдается в ИФНС в электронном виде (раньше был Росстат).
  • Руководитель может подписать бухотчетность с помощью ЭЦП.
  • Налоговые органы ведут ГИБРО (государственный информационный ресурс бухгалтерской отчетности).
  • Получить сведения из ГИБРО о любой организации можно за деньги (в Росстате раньше это было бесплатно, отчетности до 2018 года в Росстате и сейчас можно получить бесплатно).
  • Изменилась форма бухгалтерской отчетности (заполнение бланков только в тыс.руб, ОКВЭД заменили на ОКВЭД2 и пр. поправки).
  • Все требования главного бухгалтера должны исполняться работниками.
  • Аренда учитывается по новым правилам.
  • Введен новый порядок учета государственной помощи.
  • Изменились правила учета разниц по налогу на прибыль в ПБУ 18/02.
  • Дополнено ПБУ 16/02 «Информация по прекращаемой деятельности».

Бухучет на предприятия — это неотъемлемый элемент эффективного ведения дел. Эта деятельность требует кропотливости, внимательности, постоянной проверки внесенных сведений и глубоких знаний ведения бухгалтерской отчетности и законодательства РФ.

Дт 20/2 Кт 70, 69, 96

  1. Средства защиты животных. Здесь отражают расход на данную учетную группу скота биопрепаратов, медикаментов, дезинфицирующих средств, приобретенных за счет средств предприятия

Дт 20/1 Кт 10/1

  1. Корма – отражают стоимость израсходованных кормов Дт 20/2 Кт 10/9, 20/2 аналитический счет «кормоцех, кормокухня»

  2. Содержание основных средств – амортизация, затраты на ремонт (создание ремонтного фонда), а также заработная плата с отчислениями персонала обслуживающего основные средства используемые в животноводстве.

Дт 20/2 Кт 70, 69, 02, 96/1,2,3, 10

  1. Работы и услуги. На эту статью относят выполненные для животноводства работы и услуги собственных вспомогательных производств и сторонних организаций

Дт 20/2 Кт 23/3-8, 60

  1. Организация производства и управления. На эту статью ежемесячно (ежеквартально) в нормативном (плановом) размере списывают ОПР животноводства и часть ОХР

Дт 20/2 Кт 25/2, 26

  1. Страховые платежи

Дт 20/2 Кт 76

  1. Потери от падежа животных – относят потери от гибели молодняка, взрослого скота на откорме, птицы, зверей, кроликов, семей пчел, за исключением потерь, подлежащих взысканию с виновных лиц и потерь вследствие стихийных бедствий

Дт 94 Кт 11; Дт 20/2 Кт 94

  1. Прочие затраты – учитывают различные мелкие расходы и расходы разового характера: затраты на ограждение ферм, стоимость подстилки для животных, расходы по искусственному осеменению, затраты на строительство и содержание летних лагерей для скота, стоимость спецодежды

Дт 20/2 Кт 70, 69, 10,60

По кредиту счета отражают количество и стоимость полученной продукции основной – по плановой стоимости, побочной – в установленной оценке.

Дт 43/2 Кт 20/2 – оприходование готовой продукции

Дт 11 Кт 20/3 – оприходование приплода, прироста

Дт 20/1, 10 – оприходование (списание на растениеводство) навоза

Дт 20/1 Кт 20/2 – списание затрат пчеловодства на опыляемые культуры.

В животноводстве объектами исчисления себестоимости являются виды основной и сопряженной продукции. К побочной продукции в животноводстве относятся навоз, птичий помет, шерсть-линька, пух, перо и другие. Затраты на навоз определяют исходя из нормативных (расчетных) затрат на его уборку и стоимости подстилки. Шерсть-линька, пух, перо, яйцо миражное и др. оценивают по ценам возможной реализации (использования).

Исчисление себестоимости в молочном скотоводстве

Здесь объектом учета затрат является основное стадо КРС, объектом исчисления себестоимости молоко и приплод. Для исчисления себестоимости берутся все затраты по основному стаду КРС за минусом стоимости побочной продукции (навоз, шкуры мертворожденных телят) и полученные затраты распределяют:

  • 90 % этих затрат – это себестоимость всего произведенного за год молока

  • 10 % – это себестоимость полученного приплода.

Себестоимость 1 ц молока определяется делением приходящихся затрат на его производство, на физическую массу полученного молока. Себестоимость 1 головы приплода определяется делением приходящихся затрат на количество полученных голов приплода.

По выращиванию молодняка и откорму КРС объектами исчисления себестоимости являются прирост живой массы и общая живая масса скота. Себестоимость 1 ц прироста определяют делением затрат , учтенных на данном аналитическом счете за минусом стоимости побочной продукции на количество полученного прироста скота. Валовой прирост живой массы проверяют по формуле: масса животных на конец года плюс масса выбывших животных за отчетный период минус масса поступивших животных за отчетный период и минус масса животных на начало отчетного периода.

Промышленные производства позволяют более равномерно использовать рабочую силу и материальные ресурсы. К промышленным производствам относятся: маслодельные заводы, мельницы, консервные заводы, забой скота и птицы, лесопильное, кирпичное, черепичное производство, а также лесо и торфо разработки, добыча камня и щебня и т.п.

На каждое производство открывают отдельный аналитический счет. По каждому аналитическому счету учет затрат ведут в разрезе следующих статей:

Счет 20 Основное производство — проводки в программе 1С 8.3

На счете 20 «Основное производство» плана счетов бухгалтерского учета собирается «информация» о всех расходах напрямую связанных с производством продукции или оказанием услуг. 

 

 

 Остаток по счету 20 информирует о расходах, затраченных на производство продукции, услуг, которые находятся в незавершенной стадии.

К расходам на производство продукции обычно относят материалы, заработанную плату рабочих, услуги сторонних организации привлекаемых для выполнения части заказа или к выпуску продукции. 

Если нам надо узнать всю информацию о расходах, на продукцию которая еще находиться в стадии производства, то смело изучаем счет 20 с использованием базовых отчетов в программе 1С (оборотно-сальдовой ведомости, анализа счета, карточки счета).

 

 

 

ПЕРЕДАЕМ материалы в производство

Проводка: Д. 20 «Основное производство» — К.10 «Материалы»

Описание: проводкой мы зафиксировали «информацию» о поступлении материалов в производство (счет 20) и проводкой мы зафиксировали «информацию» о списании материалов со склада (счет 10).

Сумма: расчетная сумма

Документ 1С 8.3: док.»Требования-накладная».

 

 

 

НАЧИСЛЯЕМ заработную плату производственному персоналу

Проводка: Д. 20 «Основное производство» — К. 70 «Расчеты с персоналом»

Описание: проводкой мы зафиксировали «информацию» о начислении расходов, связанных с производством (счет 20) и проводкой мы зафиксировали «информацию» о возникновении «обязательства» по выплате заработной платы производственному персоналу (счет 70).

Сумма: расчетная сумма.

Документ 1С 8.3: Начисление зарплаты. 

 

 

 

 

 

РАСПРЕДЕЛЯЕМ расходы, которые ранее собирали на счете 25

Проводка: Д. 20 «Основное производство» — К. 25 «Общепроизводственные расходы»

Описание: проводкой мы зафиксировали «информацию» о начислении расходов, связнанных с производством (счет 20) и проводкой мы зафиксировали «информацию» о списании части расходов периода (счет 25) на расходы производства.

Сумма: расчетная сумма
Дата проводки: конец месяца

 

 

ВЫПУСКАЕМ готовую продукцию из производства

Проводка: Д. 40 «Выпуск продукции» — К. 20 «Основное производство»

Описание: проводкой мы зафиксировали «информацию» о себестоимости выпуска (счет 40) и проводкой мы зафиксировали «информацию» о отнесении части расходов производства (счет 20) на себестоимость выпущенной продукции.

Сумма: Сумма=СебестоимостьВыпуска*КолВоВыпуска;
Дата проводки: дата из док.»Накладной на выпуск продукции».

 

 

Учет договора подряда у подрядчика и заказчика (налоги, проводки)

>>

Договор подряда

Бухгалтерский учет договора подряда у подрядчика

При ведении бухгалтерского учета по договору подряда необходимо руководствоваться общими правилами ведения бухгалтерского учета.

Учет затрат по договору строительного подряда ведется на счете 20 «Основное производство». На этом счете отражаются все затраты подрядчика, связанные с выполнением работ по договору. Если для выполнения отдельных работ подрядчик привлекает субподрядчиков, то стоимость выполненных субподрядных работ также учитывается подрядчиком на счете 20.

Списание затрат осуществляется по мере сдачи произведенных работ заказчику. Порядок сдачи работ определяется условиями договора подряда: по мере выполнения всего объема работ и поэтапной сдачи выполненных работ.

При сдаче работ по мере всего выполнения объема работ учет договора подряда у подрядчика рассматривает затраты по договору в течение всего срока договора. В момент приемки выполненных работ заказчиком (в момент подписания акта приемки) накопленные затраты списываются со счета 20 «Основное производство» в дебет счета 90 «Продажи». Одновременно по кредиту счета 90 «Продажи» отражается договорная стоимость выполненных работ.

Дт 51 Кт 62 — получен аванс от заказчика на проведение работ

Дт 62 Кт 68 — начислен НДС с полученного аванса

Дт 20 Кт 10 (60, 70, 69 и др.) — отражены затраты по выполнению договора в течение всего срока выполнения работ

Дт 62 Кт 90 — отражена стоимость выполненных работ

Дт 90 Кт 68 — начислен НДС от стоимости реализованного объекта

Дт 90 Кт 20 — списаны затраты, связанные с выполнением работ по договору подряда

Дт 62 Кт 62 — зачтена сумма полученного аванса

Дт 68 Кт 62 — восстановлен НДС, уплаченный с аванса

Дт 51 Кт 62 — отражено поступление денежных средств от заказчика на расчетный счет за выполненные работы

При поэтапной сдаче выполненных работ в учете договора подряда подрядчика отражается реализация работ по выполненному этапу. Если выполнение работ по договору подряда продолжается более одного отчетного периода, то разумно использовать счет 46 «Выполненные этапы по незавершенным работам».

Дт 51 Кт 62 — получен аванс от застройщика на проведение работ

Дт 62 Кт 68 — начислен НДС договора подряда с полученного аванса

Дт 20 Кт 10 (60, 70, 69 и др.) — отражены затраты по выполнению отдельного этапа работ

Дт 46 Кт 90 — отражена стоимость законченного подрядчиком этапа работ

Дт 90 Кт 20 — списывается сумма затрат по законченным этапам работ

Дт 90 Кт 68 — начислен НДС от стоимости законченного этапа работ

Дт 68 Кт 62 — восстановлен НДС с аванса по законченному этапу работ

Дт 62 Кт 62 — зачтена сумма полученного аванса

Дт 68 Кт 62 — восстановлен НДС, уплаченный с аванса

Дт 62 Кт 46 — списана стоимость всех этапов работ

Дт 51 Кт 62 — отражено поступление денежных средств от заказчика на расчетный счет за выполненные работы

Подрядчик может выполнять работы с использованием, как своих материалов, так и материалов заказчика. Если работы выполняются подрядчиком с использованием материалов заказчика, то порядок учета договора подряда в плане материалов определяется условиями договора.

Договором может быть предусмотрено, что материалы для выполнения работ предоставляются подрядчику заказчиком с зачетом стоимости предоставленных материалов в счет оплаты выполненных подрядчиком работ.

Дебет 10 Кредит 60 — отражено поступление материалов от заказчика

Дебет 62 Кредит 90 — отражена стоимость выполненных работ

Дебет 60 Кредит 62 — произведен зачет взаимных задолженностей

Договор подряда может предусматривать и иной вариант, когда материалы, передаваемые заказчиком подрядчику, остаются собственностью заказчика. В этом случае подрядчик учитывает полученные материалы на забалансовом счете 003 «Материалы, принятые в переработку». По мере использования материалов подрядчик списывает их стоимость со счета 003.

Бухгалтерский учет договора подряда у заказчика

Заключение договора подряда с физическим лицом

На основании п.1 ст.208 и п.1 ст.210 НК РФ вознаграждение подрядчика за работу, выполненную по договору подряда, включается в налоговую базу по НДФЛД.

В соответствии со ст.226 НК РФ, налоговый агент-организация обязана удержать начисленную сумму НДФЛ непосредственно из доходов подрядчика при их фактической выплате.

Согласно п.1 ст.236 НК РФ, выплаты и иные вознаграждения, начисляемые налогоплательщиком в пользу физического лица по гражданско-правовым договорам, признаются объектом налогообложения по ЕСН.

В соответствии с п.3 ст.238 НК РФ в налоговую базу по ЕСН (в части суммы налога, подлежащей уплате в Фонд социального страхования РФ), не включаются любые вознаграждения, выплачиваемые физическим лицам по договорам гражданско-правового характера.

В соответствии с пп.1 п.1 ст.264 НК РФ, сумма начисленного ЕСН по договору подряда учитывается в составе прочих расходов, связанных с производством и (или) реализацией.

В соответствии с п. 1 ст. 5 Федерального закона от 24.07.98 г. № 125-ФЗ «Об обязательном социальном страховании от несчастных случаев на производстве и профессиональных заболеваний» физические лица, выполняющие работу по гражданско-правовому договору, подлежат данному виду страхования, если согласно такому договору страхователь обязан уплачивать страховщику страховые взносы. Если же условия гражданско-правового договора с физическим лицом не предусматривают страхование работника, получающего вознаграждение, то взносы на страхование от несчастных случаев начислять не нужно.

Отражение операций по выплате доходов физическому лицу на основании договора гражданско-правового характера в бухгалтерском учете производится следующими записями:

Дт 20 (26, 44) Кт 76 — отражено начисление вознаграждения физическому лицу за выполненные работы

Дт 76 Кт 68 — отражено удержание НДФЛ по договору подряда от суммы вознаграждения

Дт 20 (26, 44) Кт 69 — отражено начисление ЕСН по договору подряда

Дт 20 (26, 44) Кт 69 — начислены взносы от несчастных случаев на производстве

Дт 76 Кт 50 (51) — отражена выплата вознаграждения физическому лицу

Дт 68 Кт 51 — отражено перечисление в бюджет удержанной суммы НДФЛ по договору подряда

Возможна такая ситуация, что организация заключает договор подряда с собственным работником. В таком случае сумма вознаграждения отражается по кредиту счета 70 «Расчеты с персоналом по оплате труда». Если организация заключила договор подряда с работником, состоящим в штате данной организации, то работы по заключенному договору должны проводиться в нерабочее время, иначе данная работа считается работой по совместительству.

Порядок бухгалтерского учета договора подряда у заказчика зависит от того, какие работы выполняет для него подрядная организация и для каких целей. Они могут отражаться на счетах учета затрат (20, 23, 26 и др.), либо на счете 08 «Вложения во внеоборотные активы». Отражение затрат по выполнению работ на 08 счете осуществляется в следующих случаях: если по договору подряда ведется строительство нового объекта, если по договору подряда подрядная организация выполняет работы по реконструкции (достройке) уже существующих объектов, принадлежащих заказчику которые будут включены заказчиком в состав основных средств:

Дт 60 Кт 51 — отражено перечисление аванса на выполнение работ

Дт 20 (08, 23, 26, 44 и др.) Кт 60 — отражена стоимость выполненных работ

Дт 19 Кт 60 — отражена сумма НДС по выполненным работам

Дт 60 Кт 60 — сумма перечисленного аванса зачтена в счет оплаты выполненных работ

Дт 60 Кт 51 — отражено перечисление денежных средств подрядчику за выполненные работы

Возможен вариант, когда организация-заказчик ремонтирует не собственные, а арендованные основные средства.

Арендатор имеет право включить в состав своих затрат расходы на проведение ремонта в том случае, если законом или договором обязанность по проведению за свой счет такого ремонта возложена именно на арендатора. А если проводить ремонт за свой счет должен арендодатель, то арендатор не может включить расходы на проведение такого ремонта в состав своих затрат. Ему следует либо взыскать стоимость ремонта с арендодателя (в этом случае стоимость ремонта отражается на счете 76 «Расчеты с разными дебиторами и кредиторами»), либо отнести его в дебет счета 91, отразив в составе прочих внереализационных расходов.

Договором подряда может быть предусмотрено выполнение работ из материалов заказчика.

Если в договоре указывается, что при расчете за выполненные работы стоимость использованных материалов заказчика засчитывается в счет оплаты за выполненные работы, то в бухгалтерском учете делаются следующие записи:

Дт 62 Кт 90 (91) — отражена договорная стоимость переданных материалов

Дт 90 (91) Кт 68 (76) — начислен НДС со стоимости переданных материалов

Дт 90 Кт 10 — списана фактическая себестоимость переданных подрядчику материалов

Дт 60 Кт 62 — погашена взаимная задолженность.

Если договором предусмотрено, что материалы передаваемые заказчиком подрядчику остаются собственностью заказчика, то в бухгалтерском учете делаются следующие записи:

Дт 10/7 Кт 10 — отражена передача материалов подрядчику

Дт 20 Кт 60 — отражена стоимость выполненных подрядчиком работ (без НДС)

Дт 19 Кт 60 — отражена сумма НДС по выполненным работам

Дт 20 Кт 10/7 — на основании отчета подрядчика отражается списание стоимости израсходованных на ремонт материалов

Дт 60 Кт 91 — отражена задолженность подрядчика за неиспользованные материалы

Дт 91 Кт 68 — начислен НДС со стоимости материалов, оставшихся у подрядчика

Дт 91 Кт 10/7 — списана фактическая себестоимость материалов, оставшихся у подрядчика

Дт 60 Кт 51 — погашена задолженность перед подрядчиком за выполненные работы.

4.4 Логистическое уравнение — Исчисление Том 2

Цели обучения

  • 4.4.1 Опишите понятие несущей способности окружающей среды в логистической модели роста населения.
  • 4.4.2 Нарисуйте поле направления для логистического уравнения и интерпретируйте кривые решения.
  • 4.4.3 Решите логистическое уравнение и интерпретируйте результаты.

Дифференциальные уравнения можно использовать для представления размера популяции, который меняется во времени.Мы видели это в предыдущей главе в разделе об экспоненциальном росте и затухании, который представляет собой простейшую модель. Более реалистичная модель включает другие факторы, влияющие на рост населения. В этом разделе мы изучаем логистическое дифференциальное уравнение и посмотрим, как оно применяется к изучению динамики популяции в контексте биологии.

Прирост населения и пропускная способность

Чтобы смоделировать рост населения с помощью дифференциального уравнения, нам сначала нужно ввести некоторые переменные и соответствующие термины.Переменная t.t. будет представлять время. Единицами измерения времени могут быть часы, дни, недели, месяцы или даже годы. В любой задаче должны быть указаны единицы, используемые в этой конкретной задаче. Переменная PP будет представлять население. Поскольку численность населения меняется со временем, считается, что это функция времени. Поэтому мы используем обозначение P (t) P (t) для обозначения совокупности как функции времени. Если P (t) P (t) — дифференцируемая функция, то первая производная dPdtdPdt представляет мгновенную скорость изменения популяции как функцию времени.

В книге Exponential Growth and Decay мы изучали экспоненциальный рост и распад популяций и радиоактивных веществ. Пример функции экспоненциального роста: P (t) = P0ert.P (t) = P0ert. В этой функции P (t) P (t) представляет популяцию в момент времени t, P0t, P0 представляет начальную популяцию (популяция в момент времени t = 0), t = 0), а константа r> 0r> 0 называется скорость роста. На рисунке 4.18 показан график P (t) = 100e0.03t.P (t) = 100e0.03t. Здесь P0 = 100, P0 = 100 и r = 0,03.r = 0,03.

Фигура 4.18 Модель экспоненциального роста населения.

Мы можем проверить, что функция P (t) = P0ertP (t) = P0ert удовлетворяет задаче начального значения

dPdt = rP, P (0) = P0. dPdt = rP, P (0) = P0.

Это дифференциальное уравнение имеет интересную интерпретацию. Левая часть представляет скорость, с которой популяция увеличивается (или уменьшается). Правая часть равна положительной константе, умноженной на текущую численность населения. Следовательно, дифференциальное уравнение утверждает, что скорость увеличения численности населения пропорциональна численности населения в данный момент времени.Кроме того, в нем говорится, что коэффициент пропорциональности никогда не меняется.

Одной из проблем этой функции является предсказание того, что с течением времени популяция будет неограниченно расти. Это нереально в реальных условиях. Различные факторы ограничивают скорость роста определенной популяции, включая рождаемость, смертность, запасы пищи, хищников и так далее. Константа роста rr обычно учитывает коэффициенты рождаемости и смертности, но не другие факторы, и ее можно интерпретировать как чистую (рождаемость минус смерть) процентный темп роста в единицу времени.Возникает естественный вопрос: остается ли темп роста населения постоянным или он меняется со временем. Биологи обнаружили, что во многих биологических системах популяция растет до тех пор, пока не будет достигнута определенная стабильная популяция. Эта возможность не учитывается при экспоненциальном росте. Однако концепция несущей способности допускает возможность того, что в данной области только определенное количество данного организма или животного может процветать, не сталкиваясь с проблемами ресурсов.

Определение

Пропускная способность организма в данной среде определяется как максимальная популяция этого организма, которую среда может поддерживать бесконечно долго.

Мы используем переменную KK для обозначения грузоподъемности. Скорость роста представлена ​​переменной r.r. Используя эти переменные, мы можем определить логистическое дифференциальное уравнение.

Определение

Пусть KK представляет собой пропускную способность конкретного организма в данной среде, а rr — действительное число, которое представляет скорость роста.Функция P (t) P (t) представляет популяцию этого организма как функцию времени t, t, а константа P0P0 представляет начальную популяцию (популяцию организма в момент времени t = 0). T = 0). Тогда логистическое дифференциальное уравнение —

dPdt = rP (1 − PK) dPdt = rP (1 − PK)

(4.8)

Логистическое уравнение было впервые опубликовано Пьером Ферхюльстом в 1845 г. 1845 г. Это дифференциальное уравнение может быть объединено с начальным условием P (0) = P0P (0) = P0, чтобы сформировать начальную задачу для P (t).P (t).

Предположим, что начальная популяция мала по сравнению с пропускной способностью. Тогда ПКПК маленький, возможно, близкий к нулю. Таким образом, величина в скобках в правой части уравнения 4.8 близка к 1,1, а правая часть этого уравнения близка к rP.rP. Если r> 0, r> 0, то численность населения быстро растет, напоминая экспоненциальный рост.

Однако с ростом населения растет и коэффициент ПКПК, потому что КК постоянный. Если популяция остается ниже допустимой, то ПКПК меньше 1,1, поэтому 1 − PK> 0.1-ПК> 0. Следовательно, правая часть уравнения 4.8 по-прежнему положительна, но количество в скобках становится меньше, и в результате снижается скорость роста. Если P = KP = K, то правая часть равна нулю, и населенность не меняется.

Теперь предположим, что популяция начинается со значения, превышающего пропускную способность. Тогда PK> 1, PK> 1 и 1-PK <0,1-PK <0. Тогда правая часть уравнения 4.8 будет отрицательной, и популяция уменьшится. Пока P> K, P> K, популяция уменьшается.Фактически он никогда не достигает KK, потому что dPdtdPdt будет становиться все меньше и меньше, но популяция приближается к пропускной способности, когда tt приближается к бесконечности. Этот анализ можно представить визуально в виде фазовой линии. Фазовая линия описывает общее поведение решения автономного дифференциального уравнения в зависимости от начального условия. Для случая пропускной способности в логистическом уравнении фазовая линия показана на рисунке 4.19.

Фигура 4,19 Фазовая линия для дифференциального уравнения dPdt = rP (1 − PK).dPdt = rP (1 − PK).

Эта фазовая линия показывает, что, когда PP меньше нуля или больше K, K, популяция уменьшается со временем. Когда PP находится между 00 и K, K, популяция со временем увеличивается.

Пример 4,14

Вступление к главе: Исследование переносимости оленей

Фигура 4.20 (кредит: модификация работы Рэйчел Крамер, Flickr)

Рассмотрим популяцию белохвостого оленя ( Odocoileus virginianus ) в штате Кентукки.Департамент рыбных и диких животных Кентукки (KDFWR) устанавливает руководящие принципы охоты и рыбалки в штате. Перед охотничьим сезоном 2004-2004 гг. Численность оленей составляла 900 000 900 000 оленей. Джонсон отмечает: «Популяция оленей, у которых есть много еды и на которые не охотятся люди или другие хищники, будет удваиваться каждые три года». (Джордж Джонсон, «Проблема увеличения популяций оленей не имеет привлекательных решений», 12 января 2001 г., 12 января 2001 г., по состоянию на 9 апреля 2015 г., http: //www.txtwriter.com / onscience / Articles / deerpops.html.) Это наблюдение соответствует скорости увеличения r = ln (2) 3 = 0,2311, r = ln (2) 3 = 0,2311, поэтому приблизительная скорость роста составляет 23,11% 23,11% на год . (Предполагается, что популяция растет экспоненциально, что является разумным — по крайней мере, в краткосрочной перспективе — с обильным запасом пищи и отсутствием хищников.) KDFWR также сообщает о плотности популяции оленей в 3232 округах Кентукки, среднее из которых составляет приблизительно 2727 оленей на квадратную милю. Предположим, это плотность оленей для всего штата (39 732 (39 732 квадратных миль).Пропускная способность KK составляет 39 73239 732 квадратных миль умноженные на 2727 оленей на квадратную милю, или 1 072 7641 072 764 оленя .

  1. Для этого приложения мы имеем P0 = 900,000, K = 1,072,764, P0 = 900,000, K = 1,072,764 и r = 0,2311.r = 0,2311. Подставьте эти значения в уравнение 4.8 и сформируйте задачу начального значения.
  2. Решите задачу с начальным значением из части а.
  3. Согласно этой модели, какова будет численность населения через 33 года? Напомним, что время удвоения, предсказанное Джонсоном для популяции оленей, составляло 33 года.Как сравнить эти значения?
  4. Предположим, что популяция достигла 1 200 000 1 200 000 оленей. Что, по прогнозам логистического уравнения, произойдет с населением в этом сценарии?
Решение
  1. Задача начального значения —
    dPdt = 0,2311P (1 — P1 072 764), P (0) = 900 000 dPdt = 0,2311P (1 — P 1 072 764), P (0) = 900 000.
  2. Логистическое уравнение является автономным дифференциальным уравнением, поэтому мы можем использовать метод разделения переменных.
    Шаг 1: Установка правой части равной нулю дает P = 0P = 0 и P = 1,072,764.P = 1,072,764. Это означает, что если популяция начинается с нуля, она никогда не изменится, а если она начнется с несущей способности, она никогда не изменится.
    Шаг 2: Перепишите дифференциальное уравнение и умножьте обе части на:
    dPdt = 0,2311P (1,072,764-P1,072,764) dP = 0,2311P (1,072,764-P1,072,764) dt.dPdt = 0,2311P (1,072,764-P1,072,764) dP = 0,2311P (1,072,764-P1,072,764) dt.
    Разделите обе части на P (1,072,764 − P): P (1,072,764 − P):
    dPP (1,072,764-P) = 0.23111,072,764dt.dPP (1,072,764-P) = 0,23111,072,764dt.
    Шаг 3: Проинтегрируйте обе части уравнения, используя разложение на частную дробь:
    ∫dPP (1,072,764 − P) = ∫0,23111,072,764dt11,072,764∫ (1P + 11,072,764 − P) dP = 0,2311t1,072,764 + C11,072,764 (ln | P | −ln | 1,072,764 − P |) = 0,2311t1, 072,764 + C.∫dPP (1,072,764 − P) = ∫0,23111,072,764dt11,072,764∫ (1P + 11,072,764 − P) dP = 0,2311t1,072,764 + C11,072,764 (ln | P | −ln | 1,072,764 − P |) = 0,2311t1 072 764 + С.
    Шаг 4. Умножьте обе стороны на 1072,7641,072,764 и используйте правило частного для логарифмов:
    ln | P1,072,764-P | = 0.2311t + C1.ln | P1,072,764-P | = 0,2311t + C1.
    Здесь C1 = 1,072,764 ° C, C1 = 1,072,764 ° C. Затем возвести в степень обе стороны и исключить абсолютное значение:
    eln | P1,072,764 − P | = e0.2311t + C1 | P1,072,764 − P | = C2e0.2311tP1,072,764 − P = C2e0.2311t.eln | P1,072,764 − P | = e0.2311t + C1 | P1 , 072,764-P | = C2e0,2311tP1,072,764-P = C2e0,2311t.
    Здесь C2 = eC1C2 = eC1, но после исключения абсолютного значения оно также может быть отрицательным. Теперь решите для:
    P = C2e0,2311t (1,072,764 − P). P = 1,072,764C2e0,2311t − C2Pe0,2311tP + C2Pe0,2311t = 1,072,764C2e0.2311tP (1 + C2e0,2311t) = 1,072,764C2e0,2311tP (t) = 1,072,764C2e0,2311t1 + C2e0,2311t.P = C2e0,2311t (1,072,764 − P) .P = 1,072,764C2e0,2311t − C2Pe0,2311etP + C2Pe0,2311etP. 2311t = 1,072,764C2e0,2311tP (1 + C2e0,2311t) = 1,072,764C2e0,2311tP (t) = 1,072,764C2e0,2311t1 + C2e0,2311t.
    Шаг 5: Чтобы определить значение C2, C2, на самом деле легче вернуться на пару шагов назад к тому месту, где был определен C2C2. В частности, используйте уравнение
    P1,072,764 − P = C2e0,2311t.P1,072,764 − P = C2e0,2311t.
    Начальное условие P (0) =

    0.P (0) = 900 000. Замените PP на 900,000900,000 и tt на ноль:


    P1,072,764 − P = C2e0,2311t900,0001,072,764−900,000 = C2e0,2311 (0) 900,000172,764 = C2C2 = 25,0004,799≈5,209.P1,072,764 − P = C2e0,2311t900,0001, 072,764-900,000 = C2e0,2311 (0) 900,000 172,764 = C2C2 = 25,0004,799≈5,209.
    Следовательно,
    P (t) = 1,072,764 (250004799) e0,2311t1 + (250004799) e0,2311t = 1,072,764 (25000) e0,2311t4799 + 25000e0,2311t.P (t) = 1,072,764 (250004799) e0,2311t1 + (250004799) e0,2311t = 1 072 764 (25000) e0.2311t4799 + 25000e0.2311t.
    Разделив числитель и знаменатель на 2500025000, получим
    P (t) = 1,072,764e0.2311t0.19196 + e0.2311t.P (t) = 1,072,764e0.2311t0.19196 + e0.2311t.
    Рисунок 4.21 представляет собой график этого уравнения.
    Фигура 4,21 Логистическая кривая для популяции оленей с начальной популяцией 900 000 900 000 оленей.
  3. Используя эту модель, мы можем предсказать численность населения через 33 года.
    P (3) = 1,072,764e0,2311 (3) 0,19196 + e0,2311 (3) ≈978,830 оленей P (3) = 1,072,764e0,2311 (3) 0,19196 + e0,2311 (3) ≈978,830 оленей
    Это намного меньше, чем в два раза по сравнению с первоначальным населением в 900 000 человек.900 000. Помните, что время удвоения основано на предположении, что скорость роста никогда не меняется, но логистическая модель учитывает эту возможность.
  4. Если поголовье достигнет 1 200 000 1 200 000 оленей, то новая задача начального значения будет равна
    . dPdt = 0,2311P (1 — P1 072764), P (0) = 1 200 000 dPdt = 0,2311P (1 — P 1 072 764), P (0) = 1 200 000.
    Общее решение дифференциального уравнения останется прежним.
    P (t) = 1,072,764C2e0,2311t1 + C2e0,2311tP (t) = 1,072,764C2e0.2311t1 + C2e0.2311t
    Чтобы определить значение константы, вернитесь к уравнению
    P1,072,764 − P = C2e0,2311t.P1,072,764 − P = C2e0,2311t.
    Подставляя значения t = 0t = 0 и P = 1,200,000, P = 1,200,000, получаем
    C2e0,2311 (0) = 1,200,0001,072,764−1,200,000C2 = −100,00010,603≈ − 9,431.C2e0,2311 (0) = 1,200,0001,072,764−1,200,000C2 = −100,00010,603≈− 9,431.
    Следовательно,
    P (t) = 1,072,764C2e0,2311t1 + C2e0,2311t = 1,072,764 (−100,00010,603) e0,2311t1 + (- 100,00010,603) e0,2311t = −107,276,400,000e0,2311t100,000e0.2311t − 10,603≈10,117,551e0.2311t9.43129e0.2311t − 1.P (t) = 1,072,764C2e0.2311t1 + C2e0.2311t = 1,072,764 (−100,00010,603) e0.2311t1 + (- 100,00010,603) e0 .2311t = -107,276,400,000e0,2311t100,000e0,2311t-10,603≈10,117,551e0,2311t9,43129e0,2311t-1.
    Это уравнение изображено на рис. 4.22.
    Фигура 4,22 Логистическая кривая для популяции оленей с начальной популяцией 1,200,0001,200,000 оленей.

Решение логистического дифференциального уравнения

Логистическое дифференциальное уравнение является автономным дифференциальным уравнением, поэтому мы можем использовать разделение переменных для поиска общего решения, как мы только что сделали в примере 4.14.

Шаг 1: Установка правой части равной нулю приводит к P = 0P = 0 и P = KP = K как постоянным решениям. Первое решение указывает на то, что при отсутствии организмов популяция никогда не будет расти. Второе решение указывает на то, что когда популяция достигает максимальной емкости, она никогда не изменится.

Шаг 2: Перепишите дифференциальное уравнение в виде

dPdt = rP (K − P) K. dPdt = rP (K − P) K.

Затем умножьте обе стороны на dtdt и разделите обе стороны на P (K − P).П (К-П). Это приводит к

dPP (K − P) = rKdt. dPP (K − P) = rKdt.

Умножьте обе части уравнения на KK и проинтегрируйте:

∫KP (K − P) dP = ∫rdt. KP (K − P) dP = ∫rdt.

Левую часть этого уравнения можно проинтегрировать, используя разложение на частичные дроби. Мы предоставляем вам убедиться, что

КП (К — П) = 1П + 1К — П.КП (К — П) = 1П + 1К — П.

Тогда уравнение принимает вид

∫1P + 1K − PdP = ∫rdtln | P | −ln | K − P | = rt + Cln | PK − P | = rt + C. 1P + 1K − PdP = ∫rdtln | P | −ln | K− P | = rt + Cln | PK − P | = rt + C.

Теперь возведем в степень обе части уравнения, чтобы исключить натуральный логарифм:

eln | PK − P | = ert + C | PK − P | = eCert.eln | PK − P | = ert + C | PK − P | = eCert.

Мы определяем C1 = ecC1 = ec и, учитывая, что K, P> 0K, P> 0 и P 0PK – P> 0, мы можем опустить знак абсолютного значения, чтобы уравнение становится

PK − P = C1ert.PK − P = C1ert.

(4,9)

Чтобы решить это уравнение относительно P (t), P (t), сначала умножьте обе части на K − PK − P и соберите члены, содержащие PP, в левой части уравнения:

P = C1ert (K − P) P = C1Kert − C1PertP + C1Pert = C1Kert. P = C1ert (K − P) P = C1Kert − C1PertP + C1Pert = C1Kert.

Затем разложите PP на множитель слева и разделите обе стороны на другой множитель:

P (1 + C1ert) = C1KertP (t) = C1Kert1 + C1ert.P (1 + C1ert) = C1KertP (t) = C1Kert1 + C1ert.

(4.10)

Последний шаг — определить значение C1.C1. Самый простой способ сделать это — заменить t = 0t = 0 и P0P0 вместо PP в уравнении 4.9 и решить для C1: C1:

PK − P = C1ertP0K − P0 = C1er (0) C1 = P0K − P0.PK − P = C1ertP0K − P0 = C1er (0) C1 = P0K − P0.

Наконец, подставьте выражение для C1C1 в уравнение 4.10:

P (t) = C1Kert1 + C1ert = P0K − P0Kert1 + P0K − P0ertP (t) = C1Kert1 + C1ert = P0K − P0Kert1 + P0K − P0ert

Теперь умножьте числитель и знаменатель правой части на (K − P0) (K − P0) и упростите:

P (t) = P0K − P0Kert1 + P0K − P0ert = P0K − P0Kert1 + P0K − P0ert · K − P0K − P0 = P0Kert (K − P0) + P0ert.P (t) = P0K − P0Kert1 + P0K − P0ert = P0K −P0Kert1 + P0K − P0ert · K − P0K − P0 = P0Kert (K − P0) + P0ert.

Мы формулируем этот результат в виде теоремы.

Теорема 4.2

Решение логистического дифференциального уравнения.

Рассмотрим логистическое дифференциальное уравнение с учетом начальной популяции P0P0 с пропускной способностью KK и скоростью роста r.р. Решение соответствующей начальной задачи дается формулой

P (t) = P0Kert (K − P0) + P0ert. P (t) = P0Kert (K − P0) + P0ert.

(4.11)

Теперь, когда у нас есть решение задачи с начальным значением, мы можем выбрать значения для P0, r, P0, r и KK и изучить кривую решения. Например, в Примере 4.14 мы использовали значения r = 0,2311, K = 1 072 764, r = 0,2311, K = 1 072 764 и начальную популяцию в 900 000 900 000 оленей. Это приводит к решению

P (t) = P0Kert (K − P0) + P0ert = 900,000 (1,072,764) e0.2311t (1,072,764−900,000) + 900,000e0,2311t = 900,000 (1,072,764) e0,2311t172,764 + 900,000e0,2311t.P (t) = P0Kert (K − P0) + P0ert = 900,000 (1,072,764) e0,2311t (1,072,764 -900,000) + 900,000e0,2311t = 900,000 (1,072,764) e0,2311t172,764 + 900,000e0,2311t.

Разделив верх и низ на 900 000 900 000, получим

P (t) = 1,072,764e0,2311t0,19196 + e0,2311t.P (t) = 1,072,764e0,2311t0,19196 + e0,2311t.

То же, что и оригинальное решение. График этого решения снова показан синим цветом на рис. 4.23, наложенный на график модели экспоненциального роста с начальным населением 900 000–900 000 и темпом роста 0.23110.2311 (отображается зеленым цветом). Красная пунктирная линия представляет грузоподъемность и представляет собой горизонтальную асимптоту для решения логистического уравнения.

Фигура 4,23 Сравнение экспоненциального и логистического роста для той же начальной популяции 900 000 900 000 организмов и темпов роста 23,11% 0,23,11%.

Работая в предположении, что население растет в соответствии с логистическим дифференциальным уравнением, этот график предсказывает, что примерно 2020 годами ранее (1984), (1984) рост населения был очень близок к экспоненциальному.Чистые темпы роста в то время составляли около 23,1% 23,1% в год. Со временем два графика разделятся. Это происходит потому, что популяция увеличивается, а логистическое дифференциальное уравнение утверждает, что скорость роста уменьшается по мере увеличения популяции. На момент измерения численности (2004 г.), (2004 г.) она была близка к предельной емкости, и численность населения начала выравниваться.

Решение логистического дифференциального уравнения имеет точку перегиба. Чтобы найти эту точку, приравняйте вторую производную к нулю:

P (t) = P0Kert (K − P0) + P0ertP ′ (t) = rP0K (K − P0) ert ((K − P0) + P0ert) 2P ″ (t) = r2P0K (K − P0) 2ert − r2P02K ( K − P0) e2rt ((K − P0) + P0ert) 3 = r2P0K (K − P0) ert ((K − P0) −P0ert) ((K − P0) + P0ert) 3.P (t) = P0Kert (K − P0) + P0ertP ′ (t) = rP0K (K − P0) ert ((K − P0) + P0ert) 2P ″ (t) = r2P0K (K − P0) 2ert − r2P02K ( K − P0) e2rt ((K − P0) + P0ert) 3 = r2P0K (K − P0) ert ((K − P0) −P0ert) ((K − P0) + P0ert) 3.

Обнуление числителя,

r2P0K (K − P0) ert ((K − P0) −P0ert) = 0. r2P0K (K − P0) ert ((K − P0) −P0ert) = 0.

Пока P0 ≠ K, P0 ≠ K, вся величина до и включая ertert отлична от нуля, поэтому мы можем разделить ее:

(K − P0) −P0ert = 0. (K − P0) −P0ert = 0.

Решение для т, т,

P0ert = K − P0ert = K − P0P0lnert = lnK − P0P0rt = lnK − P0P0t = 1rlnK − P0P0.P0ert = K − P0ert = K − P0P0lnert = lnK − P0P0rt = lnK − P0P0t = 1rlnK − P0P0.

Обратите внимание, что если P0> K, P0> K, то эта величина не определена, и график не имеет точки перегиба. На логистическом графике точку перегиба можно рассматривать как точку, в которой график изменяется от вогнутого вверх к вогнутому вниз. Именно здесь начинает происходить «выравнивание», потому что чистая скорость роста замедляется по мере того, как популяция приближается к допустимой емкости.

Контрольно-пропускной пункт 4,14

Наблюдается, что популяция кроликов на лугу составляет 2 200 кроликов в момент времени t = 0.т = 0. Через месяц популяция кроликов увеличилась на 4%, 4%. Используя начальную популяцию 200200 кроликов и темп роста 0,04,0,04, при продуктивности 750750 кроликов,

  1. Напишите логистическое дифференциальное уравнение и начальное условие для этой модели.
  2. Нарисуйте поле наклона для этого логистического дифференциального уравнения и нарисуйте решение, соответствующее начальной популяции в 200200 кроликов.
  3. Решите начальную задачу для P (t).P (t).
  4. Используйте решение, чтобы спрогнозировать численность населения через 11 лет.

Студенческий проект

Студенческий проект: логистическое уравнение с пороговой совокупностью

Улучшение логистической модели включает пороговую совокупность. Пороговая популяция определяется как минимальная популяция, необходимая для выживания вида. Мы используем переменную TT для представления пороговой совокупности. Дифференциальное уравнение, которое включает как пороговую популяцию TT, так и несущую способность KK, равно

. dPdt = −rP (1 − PK) (1 − PT) dPdt = −rP (1 − PK) (1 − PT)

(4.12)

, где rr представляет скорость роста, как и раньше.

  1. Пороговая популяция полезна для биологов и может использоваться для определения того, следует ли поместить данный вид в список исчезающих видов. Группа австралийских исследователей сообщила, что они определили пороговую популяцию для выживания любого вида: 5000–5000 взрослых особей. (Кэтрин Клэбби, «Волшебное число», American Scientist 98 (1): 24, DOI: 10.1511 / 2010.82.24. Проверено 9 апреля 2015 г., http: // www.americanscientist.org/issues/pub/a-magic-number). Поэтому мы используем T = 5000T = 5000 как пороговую популяцию в этом проекте. Предположим, что экологическая емкость лося в Монтане составляет 25 000,25 000 особей. Задайте уравнение 4.12, используя пропускную способность 25 00025 000 и пороговую численность населения 5000 500 000 человек. Предположим, что годовой темп чистого роста составит 18% 0,18%.
  2. Изобразите поле направлений для дифференциального уравнения из шага 1,1 вместе с несколькими решениями для различных начальных популяций.Каковы постоянные решения дифференциального уравнения? Чему соответствуют эти решения в исходной модели популяции (то есть в биологическом контексте)?
  3. Какова предельная популяция для каждой начальной популяции, выбранной на шаге 2? 2? (Подсказка: используйте поле наклона, чтобы увидеть, что происходит для различных исходных популяций, т. Е. Ищите горизонтальные асимптоты своих решений.)
  4. Это уравнение может быть решено методом разделения переменных. Однако получить решение в виде явной функции от t очень сложно.т. Используя начальную популяцию 1800018000 лосей, решите задачу с начальным значением и выразите решение как неявную функцию от t, t или решите общую задачу с начальным значением, найдя решение в терминах r, K, T, и P0.r, K, T и P0.

Раздел 4.4 Упражнения

Для следующих задач рассмотрим логистическое уравнение в форме P ′ = CP − P2.P ′ = CP − P2. Нарисуйте поле направлений и найдите устойчивость равновесий.

171 .

Решите логистическое уравнение для C = 10C = 10 и начального условия P (0) = 2.Р (0) = 2.

172 .

Решите логистическое уравнение для C = −10C = −10 и начального условия P (0) = 2.P (0) = 2.

173 .

Поголовье оленей в парке имеет пропускную способность 2 200 000 и темпы роста 2% .2%. Если начальная популяция составляет 5050 оленей, какова популяция оленей в любой момент времени?

174 .

Популяция лягушек в пруду имеет темп роста 5% 0,5%. Если начальная популяция составляет 1000–1000 лягушек, а вместимость — 6000 6000, какова популяция лягушек в любой момент времени?

175 .

[T] Бактерии растут со скоростью 20% 20% в час в чашке Петри. Если изначально есть одна бактерия и емкость 11 миллионов клеток, сколько времени нужно, чтобы достичь 500 000 500 000 клеток?

176 .

[T] Начальная популяция кроликов в парке составляет 1010 человек, и они растут со скоростью 4% 4% в год. Если вместимость 500 500 кроликов, когда поголовье достигнет 100 100 кроликов?

177 .

[T] Две обезьяны помещены на остров.Спустя 55 лет количество обезьян составляет 88, а предполагаемая вместимость составляет 2525 обезьян. Когда популяция обезьян достигнет 1616 обезьян?

178 .

[T] Построен заповедник бабочек, который может вместить 20002000 бабочек, и первоначально туда заселяют 400400 бабочек. Если через 22 месяца теперь их будет 800800 бабочек, когда популяция достигнет 15001500 бабочек?

Следующие ниже задачи рассматривают логистическое уравнение с добавлением члена для истощения в результате смерти или эмиграции.

179 .

[T] Популяция форели в пруду определяется формулой P ′ = 0,4P (1 − P10000) −400, P ′ = 0,4P (1 − P10000) −400, где вылавливается 400400 форели в год. Воспользуйтесь калькулятором или компьютерным программным обеспечением, чтобы нарисовать направленное поле и нарисуйте несколько примеров решений. Что вы ожидаете от поведения?

180 .

В предыдущей задаче, каковы устойчивости состояний равновесия 0 181 .

[T] Для предыдущей задачи используйте программное обеспечение для создания поля направления для значения f = 400.f = 400. Каковы устойчивости равновесий?

182 .

[T] Для решения предыдущих задач используйте программное обеспечение для создания поля направления для значения f = 600.f = 600. Каковы устойчивости равновесий?

183 .

[T] Для предыдущих задач рассмотрим случай, когда в пруд добавлено определенное количество рыб, или f = −200.f = −200. Что такое неотрицательные равновесия и их устойчивость?

Более вероятно, что объем вылова определяется текущим количеством присутствующей рыбы, поэтому вместо постоянного количества пойманной рыбы коэффициент пропорционален текущему количеству присутствующей рыбы с константой пропорциональности k, k, как

P ′ = 0.4P (1 − P10000) −kP.P ′ = 0,4P (1 − P10000) −kP.

184 .

[T] Для предыдущей задачи рыбалки нарисуйте направленное поле, предполагая, что k = 0,1.k = 0,1. Нарисуйте несколько решений, демонстрирующих такое поведение. Что такое равновесия и какова их устойчивость?

185 .

[T] Используйте программное обеспечение или калькулятор, чтобы нарисовать поля направления для k = 0,4.k = 0,4. Что такое неотрицательные равновесия и их устойчивость?

186 .

[T] Используйте программное обеспечение или калькулятор, чтобы нарисовать поля направления для k = 0.6. k = 0,6. Каковы равновесия и их устойчивость?

187 .

Решите это уравнение, принимая значение k = 0,05k = 0,05 и начальное состояние 20002000 рыб.

188 .

Решите это уравнение, принимая значение k = 0,05k = 0,05 и начальное состояние 50005000 рыб.

Следующие задачи добавляют минимальное пороговое значение для выживания вида, T, T, которое изменяет дифференциальное уравнение на P ′ (t) = rP (1 − PK) (1 − TP). P ′ (t) = рП (1-ПК) (1-ТП).

189 .

Изобразите поле направлений порогового логистического уравнения, предполагая, что K = 10, r = 0,1, T = 2, K = 10, r = 0,1, T = 2. Когда выживает население? Когда он вымирает?

190 .

Для предыдущей задачи решите уравнение логистического порога, предполагая начальное условие P (0) = P0.P (0) = P0.

191 .

Бенгальские тигры в заповеднике имеют вместимость 100100 человек и нуждаются как минимум в 1010, чтобы выжить. Если их популяция растет со скоростью 1% 1% в год при начальной популяции в 1515 тигров, решите вопрос о количестве присутствующих тигров.

192 .

Лес, содержащий кольчатых лемуров на Мадагаскаре, потенциально может содержать 5 000 5 000 особей, а популяция лемуров растет со скоростью 5% 5% в год. Для выживания лемурам необходимо минимум 500500 особей. Учитывая начальную популяцию 600600 лемуров, решите проблему популяции лемуров.

193 .

Популяция горных львов в Северной Аризоне оценивается в 250 250 человек и растет со скоростью 0,25% 0,25% в год, и для выживания популяции должно быть 2525 особей.При начальной популяции в 3030 горных львов, сколько лет потребуется, чтобы вывести горных львов из списка исчезающих видов (не менее 100)? 100)?

Следующие вопросы рассматривают уравнение Гомпертца, модификацию логистического роста, которая часто используется для моделирования роста рака, в частности количества опухолевых клеток.

194 .

Уравнение Гомперца задается формулой P (t) ′ = αln (KP (t)) P (t). P (t) ′ = αln (KP (t)) P (t). Изобразите поля направления для этого уравнения, предполагая, что все параметры положительны, и учитывая, что K = 1.К = 1.

195 .

Предположим, что для популяции K = 1000K = 1000 и α = 0,05. Α = 0,05. Нарисуйте направленное поле, связанное с этим дифференциальным уравнением, и нарисуйте несколько решений. Каково поведение населения?

196 .

Решите уравнение Гомперца для общих αα и KK и P (0) = P0.P (0) = P0.

197 .

[T] Уравнение Гомпертца использовалось для моделирования роста опухоли в организме человека. Начиная с одной опухолевой клетки на 11 день и принимая α = 0.1α = 0,1 и пропускная способность 1010 миллионов клеток, сколько времени нужно, чтобы достичь стадии «обнаружения» при 55 миллионах клеток?

198 .

[T] По оценкам, человеческое население мира достигло 33 миллиардов человек в 1959-1959 годах и 66 миллиардов в 1999-1999 годах. Предполагая, что пропускная способность составляет 1616 миллиардов человек, напишите и решите дифференциальное уравнение для логистического роста и определите, в каком году население достигло 77 миллиардов.

199 .

[T] По оценкам, человеческое население мира достигло 33 миллиардов человек в 1959-1959 годах и 66 миллиардов в 1999 году.1999. Предполагая, что вместимость составляет 1616 миллиардов человек, напишите и решите дифференциальное уравнение для роста Гомперца и определите, в каком году население достигло 77 миллиардов. Был ли логистический рост или рост Гомперца более точным, учитывая, что население мира достигло 77 миллиардов на 31–31 октября 2011 г.?

200 .

Покажите, что популяция растет быстрее всего, когда она достигает половины несущей способности для логистического уравнения P ‘= rP (1-PK) .P’ = rP (1-PK).

201 .

Когда популяция увеличивается быстрее всего в пороговом логистическом уравнении P ′ (t) = rP (1-PK) (1-TP)? P ′ (t) = rP (1-PK) (1-TP)?

202 .

Когда численность населения увеличивается быстрее всего для уравнения Гомперца P (t) ′ = αln (KP (t)) P (t)? P (t) ′ = αln (KP (t)) P (t)?

Ниже представлена ​​таблица популяций американских журавлей в дикой природе с 1940 по 2000, 1940 и 2000 годы. Популяция восстановилась от почти полного исчезновения после того, как начались усилия по сохранению. В следующих задачах рассматривается применение моделей популяции для соответствия данным. Предположим, грузоподъемность 10 00010 000 кранов. Подберите данные, исходя из количества лет, прошедших с 1940-1940 (так что ваша начальная популяция в момент 00 будет 2222 журавля).

Источник: https://www.savingcranes.org/images/stories/site_images/conservation/whooping_crane/pdfs/historic_wc_numbers.pdf
Год (лет с начала консервации) Популяция американских журавлей
1940 (0) 1940 (0) 2222
1950 (10) 1950 (10) 3131
1960 (20) 1960 (20) 3636
1970 (30) 1970 (30) 5757
1980 (40) 1980 (40) 9191
1990 (50) 1990 (50) 159159
2000 (60) 2000 (60) 256256
203 .

Найдите уравнение и параметр rr, которые наилучшим образом соответствуют данным логистического уравнения.

204 .

Найдите уравнение и параметры rr и TT, которые наилучшим образом соответствуют данным для порогового логистического уравнения.

205 .

Найдите уравнение и параметр αα, которые наилучшим образом соответствуют данным для уравнения Гомперца.

206 .

Изобразите все три решения и данные на одном графике. Какая модель кажется наиболее точной?

207 .

Используя три уравнения, найденные в предыдущих задачах, оцените численность населения в 2010–2010 годах (7070 год после сохранения).Реальное население, измеренное в то время, составляло 437 437 человек. Какая модель наиболее точна?

Закон охлаждения Ньютона — GeeksforGeeks

Когда горячая вода или молоко оставляют на столе, оно постепенно остывает. Со временем он достигает температуры окружающей среды. Горячая вода или молоко могут остыть за счет теплообмена с окружающей средой. Здесь охлаждение горячей воды зависит от разницы между ее температурой и окружающей средой.

На графике видно, что скорость охлаждения сначала увеличивается, а затем замедляется по мере снижения температуры тела.Горячее тело отдает тепло своему окружению в виде теплового излучения. Скорость потери тепла зависит от разницы температур между телом и окружающей средой.

Вниманию читателя! Все, кто говорит, что программирование не для детей, просто еще не встретили подходящих наставников. Присоединяйтесь к демонстрационному классу для первого шага к курсу кодирования, специально разработан для учащихся 8-12 классов.

Студенты узнают больше о мире программирования в этих бесплатных классах , которые определенно помогут сделать правильный выбор карьеры в будущем.

Кривая, показывающая охлаждение горячей воды с течением времени.

Закон охлаждения Ньютона

Ньютон был первым, кто систематически проанализировал взаимосвязь между теплотой, теряемой телом в определенном помещении, и его температурой.


Закон охлаждения Ньютона определяет скорость, с которой обнаженное тело меняет температуру под действием излучения, которая примерно равна разнице температур между предметом и его окружением, при условии, что разница невелика.Однако учтите, что разница здесь очень небольшая.

Закон охлаждения Ньютона гласит, что скорость потери тепла телом прямо пропорциональна разнице температур между телом и окружающей средой.

Используя правило охлаждения Ньютона, мы можем определить, насколько быстро вещество при данной температуре будет охлаждаться в любой данной среде. Кроме того, он объясняет, как на скорость охлаждения объекта влияет не только разница температур между материалом и его окружением, но также и константа охлаждения материала.

Формула закона охлаждения Ньютона

Сэр Исаак Ньютон, известный физик, разработал формулу для расчета температуры материала, когда он теряет тепло. Кроме того, тепло от объекта передается в окружающую среду. Как указывалось ранее, скорость изменения температуры связана с разницей температур между предметом и его окружением.

Согласно закону охлаждения Ньютона, скорость потери тепла, то есть — dQ / dt тела прямо пропорциональна разнице температур, ΔT = (T 2 — T 1 ) кузова и окружение.

Закон действует только при небольших перепадах температур. Кроме того, количество тепла, теряемого за счет излучения, определяется составом поверхности тела и протяженностью открытой поверхности.

Следовательно, выражение можно записать как

— dQ / dt = k (T 2 — T 1 ) …… (1)


Здесь k — положительная константа, зависящая от площадь и характер поверхности тела.

Вывод закона охлаждения Ньютона

Пусть тело массы m с удельной теплоемкостью s имеет температуру T 2 и T 1 — температуру окружающей среды.

Если температура падает на небольшую величину dT 2 за время dt , то количество потерянного тепла составляет

dQ = ms dT 2

Скорость потери тепла составляет определяется как,

dQ / dt = ms (dT 2 / dt) …….. (2)

Сравните уравнения (1) и (2) как,

— ms (dT 2 / dt) = k (T 2 — T 1 )

Переставьте указанное выше уравнение в виде:

dT 2 / (T 2 –T 1 ) = — (к / мс) dt


dT 2 / (T 2 — T 1 ) = — Kdt

, где K = k / ms

Интегрируя приведенное выше выражение как,

log e (T 2 — T 1 ) = — K t + c

или

T 2 = T 1 + C ‘e –Kt

где C’ = e c

Вышеприведенное выражение используется для расчета времени охлаждения тела через определенный диапазон температур.

Кривая охлаждения — это график, показывающий зависимость между температурой тела и временем. Скорость падения температуры определяется наклоном касательной к кривой в любой точке.

Кривая охлаждения

В целом T (t) = T A + (T H -T A ) e -kt

где T (t) равно Температура в момент времени t, T A — температура окружающей среды или температура окружающей среды, T H — температура горячего объекта, k — положительная константа, а t — время.

Методы применения закона охлаждения Ньютона

Предполагается, что постоянная скорость охлаждения, которая равна скорости охлаждения, связанной со средней температурой тела в течение интервала, когда грубые значения из закона Ньютона нужный. т.е.

dθ \ dt = k ( — q 0 ) …….. (3)

Если q i — начальная температура и q f — конечная температура тела, то

= (q i + q f ) / 2 ………. (4)

Приведенное выше уравнение (4) представляет собой только приблизительные или приблизительные значения, а уравнение (3) используется для точных значений закона охлаждения Ньютона.

Неизвестный параметр k может быть вычислен с использованием этого типа данных охлаждения, которые можно отслеживать и визуализировать. В некоторых случаях параметр можно рассчитать численно.

Пример, показывающий температуру с временным графиком с данными.

Проверка закона охлаждения Ньютона

Проверка закона охлаждения Ньютона.

Экспериментальная установка, представленная на рисунке, может быть использована для проверки закона охлаждения Ньютона. Сосуд с двойными стенками (V) с водой между двумя стенками составляет установку.Внутри сосуда с двойными стенками находится медный калориметр (С) с горячей водой.

Два термометра используются для измерения температуры T 2 воды в калориметре и T 1 горячей воды между двойными стенками, соответственно, через пробки. Через равные промежутки времени регистрируется температура горячей воды в калориметре.

График между логом e (T 2 –T 1 ) и временем (t) выглядит как прямая линия с отрицательным наклоном.



График между бревном e (T 2 –T 1 ) и временем (t)

Ограничения по закону охлаждения Ньютона:

  • Разница температур между телом и окружение должно быть маленьким.
  • В качестве потери тепла от тела следует использовать только излучение.
  • Температура окружающей среды должна оставаться постоянной во время охлаждения тела, что является ключевым ограничением закона охлаждения Ньютона.

Применения закона охлаждения Ньютона:

  • Чтобы оценить, сколько времени потребуется теплому объекту, чтобы остыть до определенной температуры.
  • Для определения температуры напитка в холодильнике по прошествии определенного времени.
  • Это помогает указать время смерти, глядя на возможную температуру тела на момент смерти и текущую температуру тела.

Примеры проблем

Задача 1: Кастрюля, заполненная горячей пищей, охлаждается с 94 ° C до 86 ° C за 2 минуты, если температура в помещении составляет 20 ° C.Сколько времени потребуется, чтобы остыть с 71 ° C до 69 ° C?

Раствор:

Средняя температура 94 ° C и 86 ° C составляет 90 ° C, что на 70 ° C выше комнатной температуры. В этих условиях сковорода остывает на 8 ° C за 2 минуты.

Согласно закону охлаждения Ньютона,

— dQ / dt = k (T 2 –T 1 )

Подставьте значение в приведенное выше выражение,

8 ° C / 2 мин = k (70 ° C) ……… (1)

Среднее значение 69 ° C и 71 ° C составляет 70 ° C, что на 50 ° C выше комнатной температуры.значение K такое же.

Подставьте значение в приведенное выше выражение:


2 ° C / dt = k (50 ° C) …… (2)

Приравняйте уравнение (1) и (2),

dt = 0,7 min

или время равно 42 с.

Задача 2: Что такое закон охлаждения Ньютона?

Решение:

Закон охлаждения Ньютона гласит, что скорость потери тепла телом прямо пропорциональна разнице температур между телом и окружающей средой.

Согласно закону охлаждения Ньютона, скорость потери тепла, то есть — dQ / dt тела, прямо пропорциональна разнице температур ΔT = (T 2 –T 1 ) тела и окрестности. Закон действует только при небольших перепадах температур. Кроме того, количество тепла, теряемого за счет излучения, определяется составом поверхности тела и протяженностью открытой поверхности.

Следовательно, выражение можно записать как

— dQ / dt = k (T 2 –T 1 )

Задача 3. Почему горячее молоко легче пить из миски, чем из стакан.

Раствор:

Чаша имеет большую площадь поверхности, чем стекло, поэтому тем больше тепла теряется в окружающую среду в виде теплового излучения через чашу. Охлаждение горячей воды зависит от разницы между ее температурой и окружающей средой. Скорость охлаждения сначала увеличивается, а затем замедляется по мере снижения температуры.

Задача 4: Постройте график, который представляет переход горячей воды в холодную.

Решение:

Кривая, показывающая охлаждение горячей воды с течением времени:

Кривая, показывающая охлаждение горячей воды с течением времени

Охлаждение горячей воды зависит от разницы между ее температурой и окружающей средой .На графике видно, что скорость охлаждения сначала увеличивается, а затем замедляется по мере снижения температуры тела. Горячее тело отдает тепло своему окружению в виде теплового излучения. Скорость потери тепла зависит от разницы температур между телом и окружающей средой.

Проблема 5: Тело при температуре 40ºC содержится в окружающей среде с постоянной температурой 20ºC. Замечено, что его температура опускается до 35ºC за 10 минут. Узнайте, сколько еще времени потребуется телу, чтобы нагреться до 30ºC.

Решение:

Согласно закону охлаждения Ньютона

q f = q i e -kt

Теперь, для интервала, в котором температура падает с 40 ºC до 35 ºC.


(35-20) = (40-20) e — (10k)

e -10k = 3/4

-10k = (ln 4/3)

k = 0,2876 / 10

k = 0,02876

Теперь для следующего интервала;

(30-20) = (35-20) e -kt

10 = 15e -kt

e -kt = 2/3

-kt = ln (2/3)

т = 0.40546 / k

Субтитруйте значение k в приведенном выше уравнении,

t = 0,40546 / 0,02876

t = 14,098 мин.

Проблема 6: Масло нагревается до 70 ºC. Через 6 минут он остывает до 50 ºC. Рассчитайте время, необходимое маслу для охлаждения с 50 ºC до 40 ºC при температуре окружающей среды Ts = 25 ºC

Решение:

Дано,

Температура масла через 6 минут, т.е. T (t) равна равняется 50 ºC.

Температура окружающей среды T s составляет 25 ºC.

Температура масла, T o , составляет 70 ºC.

Время охлаждения до 50ºC — 6 мин.

Согласно закону охлаждения Ньютона,

T (t) = T s + (T 0 — T s ) e -kt

(T (t) — T s ) / (T o — T s ) = e -kt

-kt = ln [(T (t) — T s ) / (T o — T s )]… …… (1)

Подставьте приведенные выше данные в выражение закона охлаждения Ньютона,

-kt = ln [(50 — 25) / (70 — 25)]

-k = (ln 0.55556) / 6

k = 0,09796

Средняя температура равна 45 ºC

Подставьте значения в уравнение (1),

— (0,09796) t = ln [(45-25) / (70-25 )]

-0,09796t = ln (0,44444)

0,09796t = 0,81093

t = 0,09796 / 0,58778 = 8,278 мин.

Задача 7: Вода нагревается до 80 ºC в течение 10 минут. Какой будет температура в градусах Цельсия, если k = 0,056 в минуту и ​​температура окружающей среды 25 ºC?

Раствор:

Дано,

Температура окружающей среды T s составляет 25 ºC,

Температура воды T 0 составляет 80 ºC.

Время нагрева воды t 10 мин.

Значение постоянной k равно 0,056.

Согласно закону охлаждения Ньютона,

T (t) = T s + (T 0 — T s ) e -kt

Замените приведенные выше данные в приведенное выше выражение,

T (t) = 25 + (80-25) e — (0,056 × 10)

T (t) = 25 + 55 e — (0,056 × 10)

T (t) = 25 + 31,42

T (t) = 56,42

Через 10 мин температура снизится с 80 ºC до 56.42 ºC.


Экспоненциальные и логарифмические модели | Колледж алгебры

результатов обучения

  • График функций экспоненциального роста и убывания.
  • Решает проблемы, связанные с радиоактивным распадом, углеродным датированием и периодом полураспада.
  • Используйте закон охлаждения Ньютона.
  • Используйте модель логистического роста.
  • Выберите подходящую модель для данных.
  • Используйте графическую утилиту для создания экспоненциальной регрессии из набора данных.

Мы уже исследовали некоторые основные приложения экспоненциальных и логарифмических функций. В этом разделе мы более подробно исследуем некоторые важные приложения, включая радиоактивные изотопы и закон охлаждения Ньютона.

Ядерный исследовательский реактор в Центре ядерных исследований Нили в кампусе Технологического института Джорджии. (Источник: Технологический научно-исследовательский институт Джорджии)

Экспоненциальный рост и спад

В реальных приложениях нам нужно моделировать поведение функции.{kt} [/ латекс]

, где [latex] {A} _ {0} [/ latex] равно значению в нулевой момент времени, e — постоянная Эйлера, а k — положительная константа, определяющая скорость (процент) роста. Мы можем использовать функцию экспоненциального роста в приложениях, включающих время удвоения , время, необходимое для удвоения количества. Такие явления, как популяции диких животных, финансовые вложения, биологические образцы и природные ресурсы, могут демонстрировать рост, основанный на времени удвоения.{-kt} [/ latex], где [latex] {A} _ {0} [/ latex] — начальное значение, а e — константа Эйлера. Теперь k — отрицательная константа, определяющая скорость распада. Мы можем использовать модель экспоненциального распада, когда мы рассчитываем период полураспада , или время, которое требуется веществу, чтобы экспоненциально распадаться до половины своего первоначального количества. Мы используем период полураспада в приложениях, связанных с радиоактивными изотопами.

При выборе функции в качестве математической модели мы часто используем точки данных, собранные путем тщательного наблюдения и измерения, для построения точек на графике и надеемся, что сможем распознать форму графика.{-2x} [/ латекс].

Экспоненциальный рост и спад часто связаны с очень большими или очень маленькими числами. Чтобы описать эти числа, мы часто используем порядки величины. Порядок — это степень десяти, когда число выражается в экспоненциальном представлении с одной цифрой слева от десятичной дроби. Например, расстояние до ближайшей звезды Проксима Центавра , измеренное в километрах, составляет 40 113 497 200 000 километров. В научных обозначениях это [латекс] 4.{kt} [/ latex] имеет следующие характеристики:

  • индивидуальная функция
  • горизонтальная асимптота: y = 0
  • домен: [латекс] \ left (- \ infty, \ infty \ right) [/ latex]
  • диапазон: [латекс] \ left (0, \ infty \ right) [/ latex]
  • x перехват: нет
  • Y-пересечение: [латекс] \ left (0, {A} _ {0} \ right) [/ latex]
  • увеличивается, если k > 0
  • уменьшается, если k <0

Экспоненциальная функция моделирует экспоненциальный рост, когда k> 0, и экспоненциальный спад, когда k <0.

Пример: график экспоненциального роста

Популяция бактерий удваивается каждый час. Если культивирование началось с 10 бактерий, изобразите популяцию как функцию времени.

Показать решение

Когда сумма растет на фиксированный процент в единицу времени, рост является экспоненциальным. Чтобы найти [латекс] {A} _ {0} [/ latex], мы используем тот факт, что [latex] {A} _ {0} [/ latex] — это количество в нулевой момент времени, поэтому [latex] {A} _ {0} = 10 [/ латекс]. Чтобы найти k , используйте тот факт, что через час [latex] \ left (t = 1 \ right) [/ latex] популяция удваивается с 10 до 20.{kt} \ hfill & \ text {Разделите обе стороны на} {A} _ {0}. \ hfill \\ \ mathrm {ln} 2 = kt \ hfill & \ text {Возьмите натуральный логарифм обеих сторон}. \ hfill \\ t = \ frac {\ mathrm {ln} 2} {k} \ hfill & \ text {Разделить на коэффициент} t. \ hfill \ end {array} [/ latex]

Таким образом, время удвоения составляет

[латекс] t = \ frac {\ mathrm {ln} 2} {k} [/ latex]

Пример: поиск функции, описывающей экспоненциальный рост

Согласно закону Мура, время удвоения количества транзисторов, которые можно установить на компьютерный чип, составляет примерно два года. {kt} [/ latex]

Мы обнаружили, что период полураспада зависит только от константы k , а не от исходного количества [латекс] {A} _ {0} [/ latex].{kt} \ hfill & \ text {Разделите обе стороны на} {A} _ {0}. \ hfill \\ \ mathrm {ln} \ left (\ frac {1} {2} \ right) = kt \ hfill & \ text {Возьмите натуральный логарифм с обеих сторон}. \ hfill \\ — \ mathrm {ln} \ left (2 \ right) = kt \ hfill & \ text {Применить свойства логарифмов}. \ hfill \\ — \ frac {\ mathrm {ln} \ left (2 \ right)} {k} = t \ hfill & \ text {Разделить на} k. \ hfill \ end {array} [/ latex]

Поскольку t , время положительное, k , как и ожидалось, должно быть отрицательным. Это дает нам формулу полураспада

[латекс] t = — \ frac {\ mathrm {ln} \ left (2 \ right)} {k} [/ latex]

В предыдущих разделах мы изучили свойства и правила как для экспоненциальных, так и для логарифмических функций.Мы видели, что любую экспоненциальную функцию можно записать в виде логарифмической функции и наоборот. Мы использовали показатели для решения логарифмических уравнений и логарифмы для решения экспоненциальных уравнений. Теперь мы готовы объединить наши навыки для решения уравнений, которые моделируют реальные ситуации, независимо от того, находится ли неизвестное в экспоненте или в логарифме.

Одно из таких приложений — в науке, для расчета времени, необходимого для распада половины нестабильного материала в образце радиоактивного вещества, называемого периодом полураспада .В таблице ниже перечислены периоды полураспада некоторых наиболее распространенных радиоактивных веществ.

Вещество Использовать Период полураспада
галлий-67 ядерная медицина 80 часов
кобальт-60 производство 5,3 года
технеций-99m ядерная медицина 6 часов
америций-241 строительство 432 года
углерод-14 археологическая датировка 5715 лет
уран-235 атомная сила 703 800 000 лет

Мы можем видеть, насколько сильно различаются периоды полураспада этих веществ.{kt} [/ латекс].

  • Замените A на [latex] \ frac {1} {2} {A} _ {0} [/ latex] и замените t на заданный период полураспада.
  • Решите, чтобы найти k . Выразите k как точное значение (без округления).
  • Примечание: Также можно найти скорость распада, используя [латекс] k = — \ frac {\ mathrm {ln} \ left (2 \ right)} {t} [/ latex].

    Пример: использование формулы радиоактивного распада для определения количества вещества

    Сколько времени потребуется для распада 10% 1000-граммовой пробы урана-235?

    Показать решение

    [латекс] \ begin {array} {l} \ text {} y = \ text {1000} e \ frac {\ mathrm {ln} \ left (0.{M} \ right) = M \ hfill \\ \ text {} \ text {} t = \ text {703 800 000} \ times \ frac {\ mathrm {ln} \ left (0.9 \ right)} {\ mathrm {ln } \ left (0.5 \ right)} \ text {years} \ hfill & \ text {Решить для} t. \ hfill \\ \ text {} \ text {} t \ приблизительно \ text {106 979 777 лет} \ hfill & \ hfill \ end {array} [/ latex]

    Анализ решения

    Десять процентов от 1000 граммов — это 100 граммов. {- 0.0000000087t} [/ латекс]

    Радиоуглеродное датирование

    Формула радиоактивного распада важна для радиоуглеродного датирования , которое используется для расчета приблизительной даты смерти растения или животного. Радиоуглеродное датирование было открыто в 1949 году Уиллардом Либби, получившим Нобелевскую премию за свое открытие. Он сравнивает разницу между соотношением двух изотопов углерода в органическом артефакте или ископаемом веществе и соотношением этих двух изотопов в воздухе. Считается, что это точность с точностью до 1% для растений или животных, умерших в течение последних 60 000 лет.

    Углерод-14 — это радиоактивный изотоп углерода с периодом полураспада 5730 лет. В небольших количествах он содержится в двуокиси углерода в воздухе, которым мы дышим. Большая часть углерода на Земле — это углерод-12, который имеет атомный вес 12 и не является радиоактивным. Ученые определили соотношение углерода-14 и углерода-12 в воздухе за последние 60 000 лет, используя годичные кольца деревьев и другие образцы органических веществ с известными датами, хотя это соотношение немного изменилось за столетия.

    Пока живо растение или животное, соотношение двух изотопов углерода в его теле близко к соотношению в атмосфере.{\ left (\ frac {\ mathrm {ln} \ left (0.5 \ right)} {5730} \ right) t} \ hfill & \ text {Заменить} r \ text {в формуле непрерывного роста}. \ hfill \ end {array} [/ latex]

    Чтобы определить возраст объекта, мы решаем это уравнение для т :

    [латекс] t = \ frac {\ mathrm {ln} \ left (\ frac {A} {{A} _ {0}} \ right)} {- 0.000121} [/ latex]

    По необходимости мы пренебрегаем многими деталями, которые учёные принимают во внимание при датировании по углероду-14, и рассматриваем только основную формулу.{-0.000121t} [/ латекс]. Решаем это уравнение для t , получаем

    [латекс] t = \ frac {\ mathrm {ln} \ left (r \ right)} {- 0,000121} [/ латекс]

    Как сделать: учитывая процентное содержание углерода-14 в объекте, определите его возраст

    1. Выразите данное процентное содержание углерода-14 в виде десятичного эквивалента r .
    2. Замените r в уравнении [латекс] t = \ frac {\ mathrm {ln} \ left (r \ right)} {- 0,000121} [/ latex] и решите возраст, t .

    Пример: определение возраста кости

    Обнаружен фрагмент кости, содержащий 20% исходного углерода-14. Сколько лет кости в ближайший год?

    Показать решение

    Мы подставляем 20% = 0,20 вместо r в уравнение и решаем относительно t :

    [latex] \ begin {array} {l} t = \ frac {\ mathrm {ln} \ left (r \ right)} {- 0.000121} \ hfill & \ text {Используйте общую форму уравнения}. \ hfill \\ = \ frac {\ mathrm {ln} \ left (0.20 \ right)} {- 0.000121} \ hfill & \ text {Заменить} r.\ hfill \\ \ приблизительно 13301 \ hfill & \ text {Округлить до ближайшего года}. \ hfill \ end {array} [/ latex]

    Обломку кости около 13 301 года.

    Анализ решения

    Приборы, измеряющие процентное содержание углерода-14, чрезвычайно чувствительны, и, как мы упоминали выше, ученому нужно будет проделать гораздо больше работы, чем мы, чтобы получить удовлетворение. Тем не менее, углеродное датирование дает точность только около 1%, поэтому этот возраст следует указывать как [латекс] \ text {13 301 год} \ pm \ text {1% или 13 301 год} \ pm \ text {133 года} [/ латекс].

    Попробуйте

    Цезий-137 имеет период полураспада около 30 лет. Если мы начнем с 200 мг цезия-137, пройдет ли больше или меньше 230 лет, пока останется только 1 миллиграмм?

    Показать решение

    менее 230 лет; 229.3157 а точнее

    Ограниченный рост и упадок

    Использование закона охлаждения Ньютона

    Экспоненциальное затухание также может применяться к температуре. Когда горячий объект остается в окружающем воздухе с более низкой температурой, температура объекта будет экспоненциально снижаться, выравниваясь по мере приближения к температуре окружающего воздуха.На графике температурной функции выравнивание будет соответствовать горизонтальной асимптоте температуры окружающего воздуха. Если комнатная температура не равна нулю, это будет соответствовать вертикальному смещению на стандартной функции экспоненциального затухания . {ct} \ right)} + {T} _ {s} \ hfill & \ text {Свойства логарифмов}.{kt} + {T} _ {s} [/ latex]
    , где

    • т время
    • A — разница между начальной температурой объекта и окружающей среды
    • к — постоянная, непрерывная скорость охлаждения объекта

    Как: при заданных условиях применить закон охлаждения Ньютона

    1. Установите [latex] {T} _ {s} [/ latex] равным y -координату горизонтальной асимптоты (обычно температуре окружающей среды).\ circ \ text {F} [/ латекс].

      Попробуйте

      Кувшин с водой с температурой 40 градусов по Фаренгейту помещен в комнату с температурой 70 градусов. Через час температура поднялась до 45 градусов. Сколько времени потребуется, чтобы температура поднялась до 60 градусов?

      Показать решение

      6.026 часов

      Экспоненциальный рост не может продолжаться вечно. Экспоненциальные модели, хотя они могут быть полезны в краткосрочной перспективе, имеют тенденцию разваливаться по мере их продолжения. Представьте себе начинающего писателя, который пишет одну строку в первый день и планирует удвоить количество строк, которые она пишет каждый день в течение месяца.К концу месяца она должна написать более 17 миллиардов строк или полмиллиарда страниц. Для кого-то непрактично, если вообще возможно, написать столько за такой короткий промежуток времени. В конце концов, экспоненциальная модель должна начать приближаться к некоторому предельному значению, и тогда рост будет вынужден замедлиться. По этой причине часто лучше использовать модель с верхней границей вместо модели экспоненциального роста , хотя модель экспоненциального роста все еще полезна в краткосрочной перспективе, прежде чем приблизиться к предельному значению.{-bx}} [/ latex]

      где

      • [latex] \ frac {c} {1 + a} [/ latex] — начальное значение
      • c — допустимая нагрузка или предельное значение
      • b — константа, определяемая скоростью роста.

      Пример: использование модели логистического роста

      Эпидемия гриппа быстро распространяется среди населения со скоростью, которая зависит от двух факторов. Чем больше людей болеют гриппом, тем быстрее он распространяется, а также чем больше неинфицированных людей, тем быстрее он распространяется.Эти два фактора делают логистическую модель удобной для изучения распространения инфекционных заболеваний. И, очевидно, есть максимальное значение для количества инфицированных: все население.

      Например, в момент времени t = 0 в сообществе из 1000 человек есть грипп. Таким образом, в этом сообществе гриппом может заразиться не более 1000 человек. Исследователи обнаружили, что для этого конкретного штамма гриппа константа логистического роста составляет b = 0,6030. Оцените количество людей в этом сообществе, которые переболели этим гриппом через десять дней.{-0,6030x}} \ приблизительно 293,8 [/ латекс]. Поскольку фактическое число должно быть целым числом (человек либо болел гриппом, либо нет), мы округляем до 294. В долгосрочной перспективе количество людей, которые заразятся гриппом, является предельным значением, c = 1000.

      Анализ решения

      Помните, что поскольку мы имеем дело с вирусом, мы не можем с уверенностью предсказать количество инфицированных людей. Модель лишь приближает количество инфицированных людей и не дает нам точных или фактических значений.{-0.6030x}} [/ латекс].

      Попробуйте

      Используя модель из предыдущего примера, оцените количество случаев гриппа на 15-й день.

      Выбор подходящей модели

      Теперь, когда мы обсудили различные математические модели, нам нужно научиться выбирать подходящую модель для имеющихся у нас необработанных данных. На выбор математической модели влияют многие факторы, среди которых опыт, научные законы и закономерности в самих данных. Не все данные можно описать элементарными функциями.Иногда выбирается функция, которая аппроксимирует данные в заданном интервале. Например, предположим, что были собраны данные о количестве домов, купленных в Соединенных Штатах с 1960 по 2013 годы. После нанесения этих данных на диаграмму рассеяния мы замечаем, что форма данных за период с 2000 по 2013 год следует логарифмической шкале. изгиб. Мы могли бы ограничить интервал с 2000 по 2010 год, применить регрессионный анализ с использованием логарифмической модели и использовать его для прогнозирования количества покупателей жилья на 2015 год.

      Три вида функций, которые часто используются в математических моделях, — это линейные функции, экспоненциальные функции и логарифмические функции. Если данные лежат на прямой линии или кажется, что они лежат приблизительно вдоль прямой линии, лучше всего подойдет линейная модель. Если данные нелинейны, мы часто рассматриваем экспоненциальную или логарифмическую модель, хотя можно также рассмотреть другие модели, такие как квадратичные модели.

      Выбирая между экспоненциальной и логарифмической моделями, мы смотрим на кривую кривых данных.Это называется вогнутостью. Если мы проводим линию между двумя точками данных, и все (или большая часть) данных между этими двумя точками лежит выше этой линии, мы говорим, что кривая вогнута вниз. Мы можем думать об этом как о чаше, которая наклоняется вниз и поэтому не может удерживать воду. Если все (или большая часть) данных между этими двумя точками лежит ниже линии, мы говорим, что кривая вогнута вверх. В этом случае мы можем представить себе чашу, которая изгибается вверх и, следовательно, может удерживать воду. Экспоненциальная кривая, восходящая или падающая, будь то рост или спад, всегда вогнута вверх от своей горизонтальной асимптоты.Логарифмическая кривая всегда вогнута вниз от своей вертикальной асимптоты. В случае положительных данных, что является наиболее распространенным случаем, экспоненциальная кривая всегда вогнута вверх, а логарифмическая кривая всегда вогнута вниз.

      Логистическая кривая изменяет вогнутость. Он начинается с вогнутости вверх, а затем изменяется на вогнутость вниз за определенной точкой, называемой точкой перегиба.

      После использования графика, который поможет нам выбрать тип функции для использования в качестве модели, мы подставляем точки и решаем, чтобы найти параметры.Мы уменьшаем ошибку округления, выбирая точки как можно дальше друг от друга.

      Пример: выбор математической модели

      Что лучше всего соответствует приведенным ниже значениям — линейная, экспоненциальная, логарифмическая или логистическая модель? Найдите модель и используйте график, чтобы проверить свой выбор.

      x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
      y 0 1.386 2,197 2,773 3,219 3,584 3,892 4,159 4,394
      Показать решение

      Сначала нанесите данные на график, как на графике ниже. Для построения графика округлите данные до двух значащих цифр.

      Очевидно, что точки не лежат на прямой, поэтому мы отвергаем линейную модель. Если мы проведем линию между любыми двумя точками, большая часть или все точки между этими двумя точками будут находиться над линией, поэтому график будет вогнутым вниз, что предполагает логарифмическую модель.Мы можем попробовать [latex] y = a \ mathrm {ln} \ left (bx \ right) [/ latex]. Вставка первой точки, [latex] \ left (\ text {1,0} \ right) [/ latex], дает [latex] 0 = a \ mathrm {ln} b [/ latex]. Мы отвергаем случай, когда a = 0 (если бы это было так, все выходы были бы 0), поэтому мы знаем

      [латекс] \ mathrm {ln} \ left (b \ right) = 0 [/ latex]. Таким образом, b = 1 и [латекс] y = a \ mathrm {ln} \ left (\ text {x} \ right) [/ latex]. Затем мы можем использовать точку [latex] \ left (\ text {9,4} \ text {.394} \ right) [/ latex], чтобы найти a :
      [latex] \ begin {array} {l } y = a \ mathrm {ln} \ left (x \ right) \ hfill \\ 4.394 = a \ mathrm {ln} \ left (9 \ right) \ hfill \\ a = \ frac {4.394} {\ mathrm {ln} \ left (9 \ right)} \ hfill \ end {array} [/ latex ]

      Поскольку [latex] a = \ frac {4.394} {\ mathrm {ln} \ left (9 \ right)} \ приблизительно 2 [/ latex], подходящей моделью для данных является [latex] y = 2 \ mathrm { ln} \ left (x \ right) [/ латекс].

      Чтобы проверить точность модели, мы построим график функции вместе с заданными точками.

      График [латекс] y = 2 \ mathrm {ln} x [/ latex].

      Можно сделать вывод, что модель хорошо соответствует данным.{2} \ right) [/ latex] может иметь отрицательные значения домена.

      Попробуйте

      Что лучше всего соответствует данным в таблице: линейная, экспоненциальная или логарифмическая? Найдите модель.

      x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
      y 3,297 5,437 8.{\ left (\ mathrm {ln} 0,5 \ right) x} [/ латекс]

      Экспоненциальная регрессия

      Как мы узнали, существует множество ситуаций, которые можно моделировать экспоненциальными функциями, например рост инвестиций, радиоактивный распад, изменения атмосферного давления и температуры охлаждаемого объекта. Что общего у этих явлений? Во-первых, все модели либо увеличиваются, либо уменьшаются с течением времени. Но это еще не все. Это способ увеличения или уменьшения данных , который помогает нам определить, лучше ли моделировать его экспоненциальной функцией.{x} [/ latex] (предположим, что a > 0):

      • b должно быть больше нуля и не равно единице.
      • Начальная стоимость модели — а .
        • Если b > 1, функция моделирует экспоненциальный рост. По мере увеличения x результаты модели сначала увеличиваются медленно, но затем увеличиваются все более и более быстро, без ограничений.
        • Если 0 < b <1, функция моделирует экспоненциальный спад .{2} [/ latex] вместо r , но чем ближе любое значение к 1, тем лучше уравнение регрессии аппроксимирует данные.

          A Общее примечание: экспоненциальная регрессия

          Экспоненциальная регрессия используется для моделирования ситуаций, в которых рост начинается медленно, а затем быстро неограниченно ускоряется, или когда спад начинается быстро, а затем замедляется, приближаясь к нулю. Мы используем команду «ExpReg» в графической утилите, чтобы подогнать экспоненциальную функцию к набору точек данных.{x} [/ латекс].

          Обратите внимание:

          • b не должно быть отрицательным.
          • Когда b > 1, мы имеем модель экспоненциального роста.
          • Когда 0 < b <1, мы имеем модель экспоненциального распада.

          Пример: использование экспоненциальной регрессии для подгонки модели к данным

          В 2007 году было опубликовано университетское исследование риска ДТП из-за вождения в состоянии алкогольного опьянения. Данные о 2871 авариях были использованы для измерения связи уровня алкоголя в крови человека (BAC) с риском попасть в аварию.В таблице ниже показаны результаты исследования. Относительный риск — это показатель того, во сколько раз вероятность аварии для человека выше. Так, например, у человека с BAC 0,09 вероятность аварии в 3,54 раза выше, чем у человека, который не употреблял алкоголь.

          ВАС 0 0,01 0,03 0,05 0,07 0,09
          Относительный риск сбоя 1 1.03 1,06 1,38 2,09 3,54
          BAC 0,11 0,13 0,15 0,17 0,19 0,21
          Относительный риск сбоя 6,41 12,6 22,1 39,05 65,32 99,78
          1. Пусть x представляет уровень BAC, а y — соответствующий относительный риск.Используйте экспоненциальную регрессию, чтобы подогнать модель под эти данные.
          2. После 6 порций алкоголь у человека весом 160 фунтов будет BAC около 0,16. Во сколько раз больше вероятность аварии для человека с таким весом, если он садится за руль, выпив 6 банок пива? Округлите до ближайшей сотой.
          Показать решение

          1. Используя меню STAT, затем EDIT в графической утилите, перечислите значения BAC в L1 и значения относительного риска в L2. Затем используйте функцию СТАТИСТИКА, чтобы убедиться, что диаграмма рассеяния следует экспоненциальному шаблону, показанному ниже:

          Используйте команду «ExpReg» из меню STAT, затем CALC, чтобы получить экспоненциальную модель,
          [latex] y = 0.{x} [/ латекс]

          Обратите внимание, что [латекс] r2 \ приблизительно 0,97 [/ латекс], что указывает на то, что модель хорошо соответствует данным. Чтобы увидеть это, постройте модель в том же окне, что и диаграмма рассеяния, чтобы убедиться, что она подходит, как показано ниже:

          2. Используйте модель для оценки риска, связанного с BAC 0,16. Замените 0,16 на x в модели и решите относительно y . {x} \ hfill & \ text {Используйте модель регрессии, найденную в части (a )}\текст{.{0.16} \ hfill & \ text {Заменить 0} \ text {.16 вместо} x \ text {.} \ Hfill \\ \ hfill & \ приблизительно \ text {26} \ text {.35} \ hfill & \ text {Округлить до сотых} \ text {.} \ Hfill \ end {array} [/ latex]

          Если человек весом 160 фунтов садится за руль после того, как выпил 6 порций рюмки, вероятность аварии у него примерно в 26,35 раз выше, чем при вождении в трезвом виде.

          Попробуйте

          В таблице ниже показан баланс кредитной карты недавнего выпускника за каждый месяц после окончания учебы.

          Месяц 1 2 3 4 5 6 7 8
          Долг ($) 620.00 761,88 899,80 1039,93 1270,63 1589,04 1851,31 2154,92
          1. Используйте экспоненциальную регрессию, чтобы подогнать модель под эти данные.
          2. Если расходы продолжатся такими темпами, какой будет долг выпускника по кредитной карте через год после окончания учебы?
          Показать решение

          а.

          Модель экспоненциальной регрессии, которая соответствует этим данным, имеет вид [latex] y = 522,88585984 {\ left (1.{x} [/ латекс].

          г.

          Если расходы продолжатся такими темпами, долг выпускника по кредитной карте через год составит 4 499,38 долларов.

          Вопросы и ответы

          Разумно ли предположить, что модель экспоненциальной регрессии будет представлять ситуацию бесконечно?

          Нет. Помните, что модели формируются на основе реальных данных, собранных для регрессии. Обычно целесообразно делать оценки в пределах интервала исходного наблюдения (интерполяции).{kt} [/ latex], k <0, период полураспада равен [latex] t = - \ frac {\ mathrm {ln} \ left (2 \ right)} {k} [/ latex].

      Карбон-14 датировка [латекс] t = \ frac {\ mathrm {ln} \ left (\ frac {A} {{A} _ {0}} \ right)} {- 0,000121} [/ латекс]. {kt} + {T} _ {s} [/ latex], где [latex] {T} _ {s} [/ latex] — это температура окружающей среды, [латекс] A = T \ left (0 \ right) — {T} _ {s} [/ latex], а k — непрерывная скорость охлаждения.{kx} [/ latex], где [latex] {A} _ {0} [/ latex] — начальное значение. Если [latex] {A} _ {0} [/ latex] положительно, то мы имеем экспоненциальный рост, когда k > 0, и экспоненциальный спад, когда k <0.
    2. Обычно мы решаем задачи, связанные с экспоненциальным ростом или спадом, в два этапа. Сначала мы настраиваем модель и используем модель для нахождения параметров. Затем мы используем формулу с этими параметрами для прогнозирования роста и распада.
    3. Мы можем определить возраст органического артефакта t , измерив количество k углерода-14, оставшегося в артефакте, и используя формулу [latex] t = \ frac {\ mathrm {ln} \ left (k \ right)} {- 0.000121} [/ latex] решить для т .
    4. Зная время удвоения или период полураспада вещества, мы можем найти функцию, которая представляет его экспоненциальный рост или распад.
    5. Мы можем использовать закон охлаждения Ньютона, чтобы определить, сколько времени потребуется охлаждающему объекту, чтобы достичь желаемой температуры, или чтобы определить, какой температуре объект будет через заданное время.
    6. Мы можем использовать функции логистического роста для моделирования реальных ситуаций, в которых скорость роста меняется с течением времени, таких как рост населения, распространение болезней и распространение слухов.{kx} [/ latex], где [latex] k = \ mathrm {ln} b [/ latex].
    7. Экспоненциальная регрессия используется для моделирования ситуаций, когда рост начинается медленно, а затем быстро неограниченно ускоряется, или когда спад начинается быстро, а затем замедляется, приближаясь к нулю.
    8. Глоссарий

      грузоподъемность
      в логистической модели предельное значение выпуска
      время удвоения
      время, необходимое для удвоения количества
      период полураспада
      время, необходимое веществу, чтобы экспоненциально распадаться до половины своего первоначального количества
      Модель логистического роста
      функция вида [латекс] f \ left (x \ right) = \ frac {c} {1 + a {e} ^ {- bx}} [/ latex], где [latex] \ frac {c} { 1 + a} [/ latex] — начальное значение, c — несущая способность или предельное значение, а b — константа, определяемая скоростью роста
      Закон охлаждения Ньютона
      научная формула зависимости температуры от времени, когда температура объекта уравнивается с температурой окружающей среды
      по порядку величины
      степень десяти, когда число выражается в экспоненциальном представлении с одной ненулевой цифрой слева от десятичной дроби

      % PDF-1.

      Добавить комментарий

      Ваш адрес email не будет опубликован.