Значение коэффициента вариации – Коэффициент вариации – что это такое и как рассчитать в Excel

Показатели, характеризующие вариацию значений признака

Статистическое распределение и его основные характеристики

Для анализа вариационных рядов используются три группы показателей:

— показатели центра распределения;

— показатели степени вариации;

— показатели формы распределения.

Показатели центра распределения

Для характеристики центра распределения в вариационном ряду применяются : среднее значение признака, медиана, мода.

Показатели степени вариации признака

Часто при описании статистических данных приходится оперировать понятием «однородность». Значимость однородности в статистическом анализе трудно переоценить, так как она напрямую влияет на точность рассчитываемых показателей и качество аналитических выводов. Чем однороднее данные, тем надежнее и адекватнее реалиям результаты статистического анализа.

Однородность – понятие относительное и растяжимое. Она не имеет точных границ и критериев. Под однородными данными следует понимать некоторый уровень их рассеяния, при котором рассчитываемые статистические показатели (средняя и проч.) будут давать надежную и качественную характеристику анализируемой совокупности.

Основным мерилом разброса (и однородности) данных являются показатели вариации: дисперсия σ², среднеквадратическое отклонение σ, среднее линейное отклонение a. Однако все они не дают характеристики степени разброса данных. Для преодоления этой проблемы был придуман так называемый коэффициент вариации, который рассчитывается как соотношение стандартного отклонения и средней величины.

В статистике принято считать, что, если значение коэффициента менее 33%, то совокупность данных является однородной, если более 33%, то – неоднородной.

.

Для указанных данных коэффициент вариации составил 24%, то есть совокупность вроде как однородная получилась (менее 33%).

Теперь увеличим диапазон разброса до плюс/минус 80.

Чисто визуально отчетливо видно, что данные стали более рассеяны. Коэффициент вариации на этот раз составил 45%, следовательно, совокупность стала неоднородной.

Чем более однородны данные, тем ближе они находятся к среднему значению. Чем менее однородны, тем больше рассеяны и находятся дальше друг от друга и от своей средней.

Теперь посмотрим, как измеряется вариация, с помощью каких показателей и что они обозначают.

Размах вариации

Первый показатель мы уже упомянули – это размах вариации, то есть разница между максимальным и минимальным значением. Думаю, здесь пояснять нечего, все элементарно. Для порядка напишем формулу:

С одной стороны показатель размаха может быть вполне информативным и полезным. К примеру, максимальная и минимальная стоимость квартиры в городе N, максимальная и минимальная зарплата по профессии в регионе и проч. С другой стороны, размах может быть очень широким и не иметь практического смысла.

Ниже приведена графическая интерпретация размаха вариации.

 

 

Видно максимальное и минимальное значение, а также расстояние между ними, которое и соответствует размаху вариации.

Данный показатель не дает устойчивую оценку, так как все зависит от двух, как правило, случайных значений – от максимума и минимума. Таким образом, размах вариации очень неустойчивая величина.

studfile.net

Коэффициент вариации — это… Что такое Коэффициент вариации?



Коэффициент вариации

Коэффициент вариации случайной величины — мера относительного разброса случайной величины; показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.

Равен отношению стандартного отклонения к математическому ожиданию.

Так же используется такие обозначение:

или

Смысл коэффициента

В отличие от среднего квадратического или стандартного отклонения измеряет не абсолютную, а относительную меру разброса значений признака в статистической совокупности. Исчисляется в процентах. Вычисляется только для количественных данных.

Wikimedia Foundation. 2010.

• Дасс, Петтер
• Драгалевский монастырь

Смотреть что такое «Коэффициент вариации» в других словарях:

• Коэффициент вариации — мера отклонения опытных данных от выборочного среднего значения, выражаемая в долях единицы или процентах, вычисляется по формуле (5). Источник: ГОСТ 20522 96: Грунты. Методы статистической обработки результатов испытаний …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

• КОЭФФИЦИЕНТ ВАРИАЦИИ — (coefficient of variation) Показатель изменчивости относительно средней величины. Величина измеряется в среднем, а изменчивость измеряется стандартным отклонением, которое равно квадратному корню из среднеквадратичного отклонения от среднего… …   Экономический словарь

• коэффициент вариации — коэффициент изменчивости — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы коэффициент изменчивости EN coefficient of variation …   Справочник технического переводчика

• КОЭФФИЦИЕНТ ВАРИАЦИИ — см. Коэффициент изменчивости выборки. Геологический словарь: в 2 х томах. М.: Недра. Под редакцией К. Н. Паффенгольца и др.. 1978 …   Геологическая энциклопедия

• КОЭФФИЦИЕНТ ВАРИАЦИИ — англ. coefficient, variation; нем. Variationskoeffizient. Отнощение стандартного отклонения переменной к ее среднему арифметическому. Antinazi. Энциклопедия социологии, 2009 …   Энциклопедия социологии

• Коэффициент вариации — – относительный показатель однородности прочности и плотности строительного раствора, выраженный в процентах от среднего значения прочности. [ГОСТ 4.233 86] Рубрика термина: Раствор Рубрики энциклопедии: Абразивное оборудование, Абразивы,… …   Энциклопедия терминов, определений и пояснений строительных материалов

• коэффициент вариации — variacijos koeficientas statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis Vidutinio kvadratinio nuokrypio ir vidurkio santykis; santykinė atsitiktinio dydžio reikšmių nuokrypių nuo jo vidurkio charakteristika. atitikmenys: angl. quotient of… …   Sporto terminų žodynas

• КОЭФФИЦИЕНТ ВАРИАЦИИ — показатель вариации количественной переменной , измеряющий стандартное отклонение в процентах от среднего арифметического : V = s / x * 100%. Применяется в сравнительном анализе и метанализе для сопоставления результатов, полученных для разных… …   Социология: Энциклопедия

• КОЭФФИЦИЕНТ ВАРИАЦИИ — См. распределения, коэффициент …   Толковый словарь по психологии

• КОЭФФИЦИЕНТ ВАРИАЦИИ — англ. coefficient, variation; нем. Variationskoeffizient. Отнощение стандартного отклонения переменной к ее среднему арифметическому …   Толковый словарь по социологии

dic.academic.ru

Показатели коэффициент вариации — Энциклопедия по экономике

Следующий показатель — коэффициент вариации, который характеризует величину риска на единицу ожидаемого результата и рассчитывается по формуле  [c.289]
Данный коэффициент показывает степень отклонения полученных значений. Он является относительной величиной, поэтому на его размер не оказывают влияния абсолютные значения изучаемого показателя. Коэффициент вариации может изменяться от 0 до 100%. Чем больше коэффициент, тем сильнее колеблемость и, следовательно, выше риск. Установлена следующая качественная оценка различных значений коэффициентов вариации  [c.274]

Показатели и методы изучения колеблемости цен. Направления изучения вариации цен и их особенности. Проблемы расчета коэффициента вариации региональных цен. Показатели и методы исследования цикличности и сезонности цен. Вариация цен при наличии и изменении тенденции.  [c.145]

Для общей характеристики структуры процесса, явления используют показатели размаха отклонений (максимального уровня от минимального), среднеквадратичного отклонения и коэффициента вариации. Простейшим показателем вариации служит размах колебаний А — разность максимальных и минимальных значений рассматриваемых показателей  [c.20]

Проведя детализацию показателей суточной производительности во времени, можно оценить стабильность работы установки, рассчитав показатель размаха А, среднеквадратичное отклонение а и коэффициент вариации v  [c.46]

Предварительное исследование полученной выборки (дисперсионный анализ, определение закона распределения выборки и т. д.) позволяет в определенных пределах оценить значимость факторов по таким показателям, как размах варьирования, дисперсия и коэффициент вариации. Эти показатели характеризуют степень рассеивания наблюдаемых величин и свойства эмпирического наблюдения, что в определенной мере дополняет полученные ранее сведения о-характере влияния отобранных факторов.  [c.16]

Высокая колеблемость наблюдается и по некоторым факторам. Так, коэффициент вариации V в % составляет для показателей  [c.26]

Прямые показатели — коэффициент ритмичности, коэффициент вариации, удельный вес производства продукции за /-и период (декаду, месяц, квартал) в годовом объеме производства.  [c.112]

Однородность информации оценивается в зависимости от относительного ее распределения около среднего уровня. Критериями служат среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации, определяемые по каждому факторному и результативному показателю.  [c.75]

Таким образом, в приложении к финансовым операциям речь идет об оценке вариабельности ожидаемого дохода (доходности), а в качестве критериев оценки можно использовать такие статистические коэффициенты, как размах вариации, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, называемое иногда стандартным, и коэффициент вариации. Дадим краткую характеристику этим показателям, имея ввиду, что в случае необходимости читатель может найти более подробную  [c.83]

Все вышеприведенные показатели обладают одним общим недостатком — это абсолютные показатели, значение которых существенно зависит от абсолютных значений исходного признака ряда. Поэтому большее применение имеет коэффициент вариации, рассчитываемый по формуле  [c.84]

Для оценки выполнения плана по ритмичности используются прямые и косвенные показатели. Прямые показатели — коэффициент ритмичности, коэффициент вариации, коэффициент аритмичности, удельный вес производства продукции за каждую декаду (сутки) к месячному выпуску, удельный вес произведенной продукции за каждый месяц к квартальному выпуску, удельный вес выпущенной продукции за каждый квартал к годовому объему производства, удельный вес продукции, выпущенной в первую декаду отчетного месяца, к третьей декаде предыдущего месяца.  [c.458]

Некоторое представление о колеблемости уровней процентных ставок в рассматриваемом периоде дает показатель размаха вариации. Однако эта абсолютная величина отражает колеблемость процентных ставок в пределах экстремальных значений признака. Более точными измерителями колеблемости являются дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.  [c.606]

Как видно из таблицы результатов расчета показателей вариации, колеблемость процентных ставок в 1996 г. сравнительно невысокая. Коэффициенты вариации отдельных видов процентных ставок изменяются в пределах от 13,32 до 28,51%.  [c.606]

С целью окончательного выбора формы тренда сопоставляют показатели вариации (дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации) эмпирических данных от-  [c.613]

Значения показателей вариации, которые рассчитывают для уточнения формы тренда процентных ставок, могут оказаться достаточно высокими (например, коэффициент вариации составляет 35% и более), что свидетельствует о широкой амплитуде колебаний уровней фактических данных относительно выравненных. Это позволяет предположить, что динамика показателя складывалась под воздействием различных факторов, в том числе циклических, сезонных и случайных.  [c.614]

При изучении изменчивости валютных курсов используют известный статистический инструментарий, исчисляя размах колебаний валютных курсов (R), дисперсию (52), стандартное (среднее) квадратическое отклонение ( ), коэффициент вариации (V). Можно исчислить показатели вариации по различным валютам во времени, а также по какой-либо одной валюте исходя из котировок на различных валютных площадках и секторах рынка. Первый показатель позволит выделить наиболее надежную валюту, второй — наиболее устойчивый валютный рынок.  [c.657]

Теоретическая статистика разрабатывает и изучает содержание, форму, методы расчета этих показателей в общем виде что такое средняя арифметическая величина, коэффициент вариации, уравнение тренда ряда динамики. Если же любой из этих показателей рассчитан для определенного объекта, признака, периода времени, то он становится уже конкретным показателем, например в главе 9 Статистическое изучение динамики показатели сезонных колебаний импорта КНР за 1992-1995 гг. — это уже конкретные статистические показатели экономики Китая.  [c.46]

Рассмотренные направления проверки статистических гипотез охватывают лишь важнейшие из них. Процедура испытания статистических гипотез применяется для определения того, случайно или нет полученное значение коэффициента корреляции, коэффициента вариации и т. д., случайны или нет различия в значениях показателей (медиан, коэффициентов корреляции, регрессии и т.д.) в разных  [c.217]

Оба квадрата корреляционных отношений соответствуют по содержанию ранее рассмотренному коэффициенту детерминации (8.1) и (8.2) и интерпретируются как показатели доли вариации результативного признака, объясняемой за счет вариации группировочно-го, факторного признака (и, конечно, связанных с ним прочих факторов). В данном примере связь является тесной. Различие в том, что в эмпирическом корреляционном отношении связь признаков не абстрагирована от случайных влияний прочих факторов на вариацию у, не связанных с вариацией х.  [c.255]

На основе качественного содержания понятия колеблемости строится и система ее показателей. Показателями силы колебаний уровней являются амплитуда отклонений уровней отдельных периодов или моментов от тренда (по модулю), среднее абсолютное отклонение уровней от тренда (по модулю), среднее квадратическое откло нение уровней от тренда. Относительные меры колеблемости относительное линейное отклонение от тренда и коэффициент колеблемости — аналог коэффициента вариации.  [c.341]

Для оценки ритмичности поставок используются показатели среднеквадратичное отклонение фактического объема поставки по дням (декадам, месяцам) от среднего объема поставки коэффициент неравномерности поставок и коэффициент вариации  [c.239]

Коэффициент вариации — величина относительная, поэтому на его размер не оказывают влияния абсолютные значения изучаемого показателя. С помощью коэффициента вариации можно сравнивать даже колеблемость признаков, вы-  [c.41]

Коэффициент вариации показывает, что если отклонение расчетных показателей от фактических незначительно, то модель пригодна для планирования (прогнозирования) прибыли.  [c.323]

Для оценки ритмичности поставок используются следующие показатели коэффициент ритмичности число аритмичности среднее квадратичное отклонение коэффициент неравномерности поставок коэффициент вариации.  [c.357]

Т Определение. Коэффициент вариации — это особый показатель вариации, получаемый путем соотношения среднеквадратического отклонения и арифметической средней и выражаемый в процентах. А  [c.46]

Следует отметить, что в отличие от других значений, представленных в данном разделе, коэффициент вариации не является овеществленной мерой разброса. Например, при рассмотрении заработной платы большинство показателей выражены в используемой денежной единице, скажем, в фунтах стерлингов. В противоположность этому коэффициент вариации не зависит от используемой единицы измерения.  [c.46]

Так как коэффициент вариации для предложения В превышает аналогичный показатель для предложения А, мы можем сказать, что предложение В имеет более высокую степень риска. Можно поставить вопрос о целесообразности использования коэффициента вариации, ведь в нашем примере большая величина стандартного отклонения для предложения В уже свидетельствует о том, что оно более рискованное. Но сравнивать стандартное отклонение мы можем потому, что математические ожидания вероятностных распределений в нашем примере для обоих предложений были одинаковыми. А если бы они были разными В таком случае нам и нужен критерий относительной дисперсии, которым является коэффициент вариации. Математическое ожидание, стандартное отклонение и коэффициент вариации будут часто упоминаться в дальнейшем в этой главе.  [c.390]

В рассматриваемом примере коэффициент вариации составляет для проекта А = 7.03/30 = 0,24, для проекта В— 14,1/30 = 0,47. Чем выше коэффициент вариации, тем больше размер риска на единицу результата. Следовательно, проект б, имеющий более высокий коэффициент вариации, является более рисковым. В нашем примере решения о степени рисковости проектов можно было принять, не прибегая к расчету коэффициента вариации, а используя только показатели дисперсии или стандартного отклонения, так как математическое ожидание вероятностного распределения у обоих проектов одинаковое. Если же показатели математического ожидания вероятностного распределения различаются, то вывод об уровне риска проектов сделать на основе только показателей дисперсии и стандартного отклонения не представляется возможным. Проиллюстрируем это на примере двух проектов Си D (табл. 24.2). Рассматриваются также три сценария событий оптимистический (вероятность совершения которого составляет 75%), средний (50%) и пессимистический (25%).  [c.353]

В практике использования этого алгоритма размер возможных финансовых потерь выражается обычно абсолютной суммой, а вероятность возникновения инвестиционного риска — одним из коэффициентов измерения этой вероятности (коэффициентом вариации, бета-коэффициентом и др.) Соответственно уровень инвестиционного риска при его расчете по данному алгоритму будет выражен абсолютным показателем, что существенно снижает базу его сравнения при рассмотрении альтернативных вариантов.  [c.150]

Общая структура процесса, явления характеризуется такими показателями, как максимальный и минимальный уровни, сред-неквадратическое отклонение и коэффициент вариации. Простейшим показателем вариации служит разность максимальных и минимальных значений рассматриваемых показателей (А). Однако этот показатель зависит от крайних значений и плохо характеризует изменения всех показателей в целом. Более полно степень колеблемости отражают среднеквадратическое отклонение а) и коэффициент вариации (V). Последний определяется отношением среднеквадратического отклонения к среднеарифметической величине и отражает стабильность, устойчивость процесса.  [c.141]

Ввиду ограниченности количества данных при работе с двумя сопоставимыми отклоняющими компоновками необходимо установить точность и надежность средних значений показателей работы долот в обоих вариантах, а также выяснить, случайно или не случайно различие между ними. С этой целью полученные показатели работы долот в обоих вариантах бурения были обработаны методами математической статистики, описанной в главе IV. В результате этого данные, содержащие грубые ошибки, исключались из рассмотрения и не вошли в табл. 43. При этом было установлено, что средняя проходка на трехшарошечное долото Б-269С при бурении с кривыми переводниками с углом смещения осей резьб 2 и 2,5° составляет соответственно 30,7 и 24,4 м исправленное среднемвадратичбское отклонение 10,0 и 7,26 м коэффициент вариации 32,6 и 27,5% точность 2,70 и 1,67 м при вероятности 0,80.  [c.184]

Уровень колеблемости показателей по НГДУ определяют с помощью среднеквадратичного отклонения, дисперсии и коэффициента вариации. Так, степень колеблемости уровня производительности труда по выборочной совокупности НГДУ по отношению к среднему показателю можно оценить с помощью среднеквадратичного отклонения в абсолютных единицах а и коэффициента вариации V в процентах по формулам  [c.86]

Показатели Среднее значение Среднее квадрати-ческое отклонение Коэффициент вариации  [c.26]

Данные, приведенные в табл. 15, показывают, что факторы, характеризующие уровень затрат подсистемы, имеют значительную колеблемость, которая обусловлена главным образом факторами природно-геологичес-кого характера. Вместе с этим некоторые факторы с высокой колеблемостью зависят от производственной деятельности коллектива и поэтому в большей степени, чем природные факторы, поддаются регулированию. k ним относятся такие показатели, как давление закачки на устье скважин (коэффициент вариации составляет 21,1%), удельный вес сточных вод в общем объеме закачки (коэффициент вариации равен 83 %). Высокая колеблемость этих факторов свидетельствует о больших возможностях снижения затрат на этом участке процесса добычи нефти. 38  [c.38]

Показатели Среднее значение Среднее квадратичес-кое отклоне- Коэффициент вариации Коэффициент частной Г-критерий  [c.40]

Показатель Среднее значение Среднеквадра-тическое отклонение Дисперсия Коэффициент вариации  [c.83]

Для сравнения НГДУ лучшим показателем является коэффициент вариации (четвертая строка, табл. 27). Особенно отличается НГДУ по средним дебитам на отработанный скважино-месяц (в среднем 66,4%), временем эксплуатации (54%), фондоемкостью на одну  [c.91]

Для сравнения НГДУ лучшим показателем является коэффициент вариации (четвертая строка, табл. 31). Особенно отличается НГДУ по средним процентам обводненности нефти (в среднем 43,61%), времени эксплуатации (53,08%), фондоемкости на одну скважину (29,72%). Как следствие большой вариации факторов, наблюдается заметная вариация и уровня себестоимости добычи нефти и газа (18,4%). Силу связи между вариациями себестоимости добычи нефти и газа и факторов вскрывают частные коэффициенты корреляции. Наиболее сильно коррелируют с себестоимостью добычи нефти и газа обводненность нефти (0,52), средний дебит (0,38), время (0,14), а наиболее слабо — фондоемкость на одну скважину эксплуатационного фонда (0,1).  [c.96]

Во-вторых, основными показателями оценки риска на рынке капитала являются дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Распространенность и пригодность в сравнительном анализе этих статистик в данном случае объясняется тем обстоятельством, что базисным показателем при расчетах является доходность, т. е. относительный показатель, сопоставимый как в динамике, так и по различным видам активов. Поэтому независимо от анализируемых активов соответствующие им показатели доходности и дисперсии однопорядковы и нет острой необходимости применять в оценке коэффициент вариации.  [c.85]

Критерием однородности информации служит среднеквадра-тическое отклонение и коэффициент вариации, которые рассчитываются по каждому факторному и результативному показателю.  [c.141]

Минимальный размах колебаний, дисперсии, среднего квадрати-ческого отклонения и коэффициента вариации имеет депозитные ставки, а максимальный — ставки по кредитам. Это свидетельствует о том, что наиболее стабильными в анализируемом периоде являлись депозитные ставки, так как они имели наименьшую изменчивость в течение года. Наименьшая устойчивость в 1996 г. была присуща ставкам по кредитам, так как именно этим процентным ставкам соответствуют самые высокие уровни показателей вариации.  [c.607]

Коэффициент вариации КЙ представляет собой процентное отношение сред-неквадратического отклонения к среднеарифметическому значению отчетного показателя (например, прибыли)  [c.322]

При расчете относительных показателей вариации базой для сравнения служит средняя арифметическая. Эти показатели вычисляются как отношение размаха среднелинейного отклонения или средне-квадратического отклонения к средней арифметической. Чаще всего они выражаются в процентах или относительных величинах и определяют не только сравнительную оценку вариации, но и дают характеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 0,3, или 30% (для распределений, близких к нормальному). Различают следующие относительные показатели вариации (У)  [c.66]

economy-ru.info

как рассчитать среднеарифметическое значение, мера дисперсии

Как доказать, что закономерность, полученная при изучении экспериментальных данных, не является результатом совпадения или ошибки экспериментатора, что она достоверна? С таким вопросом сталкиваются начинающие исследователи.Описательная статистика предоставляет инструменты для решения этих задач. Она имеет два больших раздела – описание данных и их сопоставление в группах или в ряду между собой.

Показатели описательной статистики

Существует несколько показателей, которые использует описательная статистика.

Среднее арифметическое

Итак, представим, что перед нами стоит задача описать рост всех студентов в группе из десяти человек. Вооружившись линейкой и проведя измерения, мы получаем маленький ряд из десяти чисел (рост в сантиметрах):

168, 171, 175, 177, 179, 187, 174, 176, 179, 169.

Если внимательно посмотреть на этот линейный ряд, то можно обнаружить несколько закономерностей:

• Ширина интервала, куда попадает рост всех студентов, – 18 см.
• В распределении рост наиболее близок к середине этого интервала.
• Встречаются и исключения, которые наиболее близко расположены к верхней или нижней границе интервала.

Совершенно очевидно, что для выполнения задачи по описанию роста студентов в группе нет необходимости приводить все значения, которые будут измеряться. Для этой цели достаточно привести всего два, которые в статистике называются параметрами распределения. Это среднеарифметическое и стандартное отклонение от среднего арифметического. Если обратиться к росту студентов, то формула будет выглядеть следующим образом:

Среднеарифметическое значение роста студентов = (Сумма всех значений роста студентов) / (Число студентов, участвовавших в измерении)

Если свести все к строгим математическим терминам, то определение среднего арифметического (обозначается греческой буквой – μ («мю»)) будет звучать так:

Среднее арифметическое – это отношение суммы всех значений одного признака для всех членов совокупности (X) к числу всех членов совокупности (N).

Если применить эту формулу к нашим измерениям, то получаем, что μ для роста студентов в группе 175,5 см.

Стандартное отклонение

Если присмотреться к росту студентов, который мы измерили в предыдущем примере, то понятно, что рост каждого на сколько-то отличается от вычисленного среднего (175,5 см). Для полноты описания нужно понять, какой является разница между средним ростом каждого студента и средним значением.

На первом этапе вычислим параметр дисперсии. Дисперсия в статистике (обозначается σ² (сигма в квадрате)) – это отношение суммы квадратов разности среднего арифметического (μ) и значения члена ряда (Х) к числу всех членов совокупности (N). В виде формулы это рассчитывается понятнее:

Значения, которые мы получим в результате вычислений по этой формуле, мы будем представлять в виде квадрата величины (в нашем случае – квадратные сантиметры). Характеризовать рост в сантиметрах квадратными сантиметрами, согласитесь, нелепо. Поэтому мы можем исправить, точнее, упростить это выражение и получим среднеквадратичное отклонение формулу и расчёт, пример:

Таким образом, мы получили величину стандартного отклонения (или среднего квадратичного отклонения) – квадратный корень из дисперсии. С единицами измерения тоже теперь все в порядке, можем посчитать стандартное отклонение для группы:

Получается, что наша группа студентов исчисляется по росту таким образом: 175,50±5,25 см.

Коэффициент вариации

Среднее квадратичное отклонение хорошо работает с рядами, в которых разброс значений не очень велик (это хорошо прослеживалось на примере роста, где интервал был всего 18 см). Если бы ряд наших измерений был значительнее, а варьирование роста было сильнее, то стандартное отклонение стало непоказательным и нам потребовался бы критерий, который может отразить разброс в относительных единицах (т. е. в процентах, относительно средней величины).

Для этих целей предусмотрены абсолютные и относительные показатели вариации в статистике, характеризующие вариационные масштабы:

• Квадратический коэффициент вариации.
• Размах вариации.
• Коэффициент осцилляции.

Квадратический коэффициент вариации (обозначается как Vσ) – это отношение среднеквадратичного отклонения к среднеарифметическому значению, выраженное в процентах.

Для нашего примера со студентами, определить Vσ несложно — он будет равен 3,18%. Основная закономерность – чем больше будет изменяться значение коэффициента, тем больше разброс вокруг среднего значения и тем менее однородна выборка.

Преимущество коэффициента вариации в том, что он показывает однородность значений (асимметрия) в ряду наших измерений, кроме того, на него не оказывают влияния масштаб и единицы измерения. Эти факторы делают коэффициент вариации особенно популярным в биомедицинских исследованиях. Будет считаться, что эксцесс значения Vσ =33% отделяет однородные выборки от неоднородных.

Если найти в ряду значений роста (первый пример) максимальное и минимальное значения, то получим размах вариации (обозначается как R, иногда ещё называется колеблемостью). В нашем примере – это значение будет равно 18 см. Эта характеристика используется для расчёта коэффициента осцилляции:

Коэффициент осцилляции – показывает как размах вариации будет относиться к среднему арифметическому ряда в процентном отношении.

Расчёты в Microsoft Ecxel 2016

Можно рассчитать описанные в статье статистические показатели в программе Microsoft Excel 2016, через специальные функции в программе. Необходимая информация приведена в таблице:

Наименование показателя	Расчёт в Excel 2016*
Среднее арифметическое	=СРГАРМ(A1:A10)
Дисперсия	=ДИСП.В(A1:A10)
Среднеквадратический показатель	=СТАНДОТКЛОН.В(A1:A10)
Коэффициент вариации	=СТАНДОТКЛОН.Г(A1:A10)/СРЗНАЧ(A1:A10)
Коэффициент осцилляции	=(МАКС(A1:A10)-МИН(A1:A10))/СРЗНАЧ(A1:A10)

* — в таблице указан диапазон A1:A10 для примера, при расчётах нужно указать требуемый диапазон.

Итак, обобщим информацию:

1. Среднее арифметическое – это значение, позволяющее найти среднее значение показателя в ряду данных.
2. Дисперсия – это среднее значение отклонений возведенное в квадрат.
3. Стандартное отклонение (среднеквадратичное отклонение) – это корень квадратный из дисперсии, для приведения единиц измерения к одинаковым со среднеарифметическим.
4. Коэффициент вариации – значение отклонений от среднего, выраженное в относительных величинах (%).

Отдельно следует отметить, что все приведённые в статье показатели, как правило, не имеют собственного смысла и используются для того, чтобы составлять более сложную схему анализа данных. Исключение из этого правила — коэффициент вариации, который является мерой однородности данных.

1001student.ru

Показатели вариации

Показатели вариации. При изучении варьирующего признака у единиц совокупности нельзя ограничиваться лишь расчетом средней величины из отдельных вариантов, так как одна и та же средняя может относиться далеко не к одинаковым по составу совокупностям.

Вариацией признака называется различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности.

Термин «вариация» произошел от латинского variatio – изменение, колеблемость, различие. Однако не всякие различия принято называть вариацией.

Под вариацией в статистике понимают такие количественные изменения величины исследуемого признака в пределах однородной совокупности, которые обусловлены перекрещивающимся влиянием действия различных факторов. Колеблемость отдельных значений характеризуют показатели вариации. Чем больше вариация, тем дальше в среднем отдельные значения лежат друг от друга.

Различают вариацию признака в абсолютных и относительных величинах.

К абсолютным показателям относятся: размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, дисперсия. Все абсолютные показатели имеют ту же размерность, что и изучаемые величины.

К относительным показателям относятся коэффициенты осцилляции, линейного отклонения и вариации.

Показатели абсолютные. Рассчитаем абсолютные показатели, характеризующие вариацию признака.

Размах вариации, представляет собой разность между максимальным и минимальным значением признака.

   

Показатель размаха вариации не всегда применим, так как он учитывает только крайние значения признака, которые могут сильно отличаться от всех других единиц.

Более точно можно определить вариацию в ряду при помощи показателей, учитывающих отклонения всех вариантов от средней арифметической.

Таких показателей в статистике два: среднее линейное и среднее квадратическое отклонение.

Среднее линейное отклонение (L) представляет собой среднее арифметическое из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от средней.

– для несгруппированных данных;	(6.2)
– для сгруппированных данных.	(6.3)

Практическое использование среднего линейного отклонения заключается в следующем, с помощью этого показателя анализируется состав работающих, ритмичность производства, равномерность поставок материалов.

Недостаток этого показателя заключается в том, что он усложняет расчеты вероятного типа, затрудняет применение методов математической статистики.

    Среднее квадратическое отклонение () является наиболее распространенным и общепринятым показателем вариации. Оно несколько больше среднего линейного  отклонения. Для умеренно асимметричных распределений установлено следующее соотношение между ними

=1,25L

(6.4)

Для его исчисления каждое отклонение от средней возводится в квадрат, все квадраты суммируются (с учетом весом), после чего сумма квадратов делится на число членов ряда и из частного извлекается корень квадратный.

Все эти действия выражает следующая формула

– для несгруппированных данных,	(6.5)
– для сгруппированных данных.	(6.6)

т.е. среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из средней арифметической квадратов отклонений от средней.

Среднее квадратическое отклонение является мерилом надежности средней. Чем меньше σ, тем лучше среднее арифметическое отражает собой всю представляемую совокупность.

Средняя арифметическая из квадратов отклонений вариантов значений признака от средней величины носит название дисперсии (), которая рассчитывается по формулам

– для несгруппированных,	(6.7)
– для сгруппированных.	(6.8)

Отличительной особенностью данного показатели является то, что при возведении в квадрат () удельный вес малых отклонений уменьшается, а больших увеличивается в общей сумме отклонений.

Дисперсия обладает рядом свойств, некоторые из них позволяют упростить её вычисление:

1. Дисперсия постоянной величины равна 0.

Если , то и .

Тогда .

2. Если все варианты значений признака (x) уменьшить на одно и то же число, то дисперсия не уменьшится.

Пусть , но тогда в соответствии со свойствами средней арифметической и .

Дисперсия в новом ряду будет равна

, т.е. дисперсия в ряду  равна дисперсии первоначального ряда .

3. Если все варианты значений признака уменьшить в одно и то же число раз (k раз), то дисперсия  уменьшится в k2 раз.

Пусть , тогда и .

Дисперсия же нового ряда  будет равна

        4. Дисперсия, рассчитанная по отношению к средней арифметической, является минимальной. Средний квадрат отклонений, рассчитанный относительно произвольного числа , больше дисперсии, рассчитанной по отношению к средней арифметической, на квадрат разности между средней арифметической и числом , т.е. . Дисперсия от средней имеет свойство минимальности, т.е. она всегда меньше дисперсий, исчисленных от любых других величин. В этом случае, когда  приравниваем к 0 и , следовательно, не вычисляем отклонения, формула принимает такой вид:

(6.9)

Выше был рассмотрен расчет показателей вариации для количественных признаков, но в экономических расчетах может ставиться  задача оценки вариации качественных признаков. Например, при изучении качества изготовленной продукции, продукцию можно разделить на качественную и бракованную.

В таком случае речь идет об альтернативных признаках.

Альтернативными признаками называются такие, которыми одни единицы совокупности обладают, а другие нет. Например, наличие производственного стажа у абитуриентов, ученая степень у преподавателей ВУЗов и т.д. Наличие признака у единиц совокупности условно обозначаем через 1, а отсутствие – 0. Тогда, если долю единиц, обладающих признаком (в общей численности единиц совокупности), обозначить через р, а долю единиц, не обладающих признаком, через q, дисперсию альтернативного признака можно рассчитать по общему правилу. При этом p + q = 1 и, значит,  q = 1– p.

Сначала рассчитываем среднее значение альтернативного признака:

Рассчитаем среднее значение альтернативного признака

,

т.е. среднее значение альтернативного признака равно доле единиц, обладающих данным признаком.

Дисперсия же альтернативного признака будет равна:

Таким образом, дисперсия альтернативного признака равняется произведению доли единиц, обладающих данным признаком, на долю единиц, не обладающих данным признаком.

А среднее квадратическое отклонение будет равно =.

Показатели относительные. Для целей сравнения колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или же при сравнении колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях представляют интерес показатели вариации, выраженные в относительных величинах. Базой для сравнения служит средняя арифметическая. Эти показатели вычисляются как отношение размаха вариации, среднего линейного отклонения или среднего квадратического отклонения к средней арифметической или медиане.

Чаще всего они выражаются в процентах и определяют не только сравнительную оценку вариации, но и дают характеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%. Различают следующие относительные показатели вариации:

1. Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.

.

(6.10)

      

2. Относительное линейное отклонение характеризует долю усредненного значения абсолютных отношений от средней величины.

.

(6.11)

3. Коэффициент вариации оценивает типичность средних величин.

.

(6.12)

Чем меньше , тем однороднее совокупность по изучаемому признаку и типичнее средняя. Если ≤33%, то распределение близко к нормальному, а совокупность считается однородной. Из приведенного примера вторая совокупность однородна.

Виды дисперсий и правило сложения дисперсий. Наряду с изучением вариации признака по всей совокупности в целом часто бывает необходимо проследить количественные изменения признака по группам, на которые разделяется совокупность, а также и между группами. Такое изучение вариации достигается посредством вычисления и анализа различных видов дисперсии. 

При этом можно определить три показателя колеблемости признака в совокупности:

1. Общую вариацию совокупности, которая является результатом действия всех причин. Эта вариация может быть измерена общей дисперсией (), характеризующей отклонения индивидуальных значений признака совокупности от общей средней

.

(6.13)

2. Вариацию групповых средних, выражающих отклонения групповых средних от общей средней и отражающих влияние того фактора, по которому произведена группировка. Эта вариация может быть измерена так называемой межгрупповой дисперсией (δ2)

,

(6.14)

где — групповые средние, а -общая средняя для всей совокупности, и — численность отдельных групп.

3. Остаточную (или внутригрупповую) вариацию, которая выражается в отклонении отдельных значений признака в каждой группе от их групповой средней и, следовательно, отражает влияние всех прочих факторов кроме положенного в основу группировки. Поскольку вариацию в каждой группе отражает групповая дисперсия

,

(6.15)

то для всей совокупности остаточную вариацию будет отражать средняя из групповых дисперсий. Эту дисперсию называют средней из внутригрупповых дисперсий () и рассчитывается она по формуле

.

(6.16)

Общая вариация признака в совокупности должна определяться как сумма вариации групповых средних (за счет одного выделенного фактора) и остаточной вариации (за счет остальных факторов). Это равенство находит свое выражение в сложении дисперсий

.

(6.17)

Это равенство, имеющее строго математическое доказательство, известно, как правило сложения дисперсий.

Правило сложения дисперсий позволяет находить общую дисперсию по её компонентам, когда индивидуальные значения признака неизвестны, а в распоряжении имеются только групповые показатели.

Коэффициент детерминации. Правило сложения дисперсии позволяет выявить зависимость результатов от определенных факторов при помощи коэффициента детерминации.

,

(6.18)

 

Этот коэффициент показывает долю (удельный вес) общей вариации изучаемого признака, обусловленную вариацией группировочного признака.

Корень квадратный из коэффициента детерминации носит название корреляционного отношения ():

(6.19)

Оно характеризует влияние признака, положенного в основание группировки, на вариацию результативного признака. Корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1. Если , то группировочный признак не оказывает влияния на результативный. Если , то результативный признак изменяется только в зависимости от признака, положенного в основание группировки, а влияние прочих факторных признаков равно нулю.

Показатели асимметрии и эксцесса. В области экономических явлений строго симметричные ряды встречаются крайне редко, чаще приходится иметь дело с асимметричными рядами.

В статистике для характеристики асимметрии пользуются несколькими показателями. Если учесть, что в симметричном ряду средняя арифметическая совпадает по значению с модой и медианой, то наиболее простым показателем асимметрии () будет разность между средней арифметической и модой, т.е. =.

Если ()>0, то на графике такой ряд будет иметь вытянутость вправо (правосторонняя асимметрия).

Если ()<0, то на графике такой ряд будет иметь вытянутость влево (левосторонняя асимметрия).

Для сравнения асимметрии в нескольких рядах используют относительный показатель, полученный путем деления величины () на среднее квадратическое отклонение, т.е.

Аs = .

(6.20)

Еще один показатель рассчитывается в вариационных рядах для характеристики крутости распределения. Это показатель эксцесса (). При одной и той же средней арифметической эмпирический ряд может быть островершинным или низковершинным по сравнению с кривой нормального распределения.

Величину эксцесса рассчитывают по формуле

.

(6.21)

Центральный момент четвертого порядка рассчитывается по формуле

.

(6.22)

Если >0, то эксцесс считают положительным (распределение островершинно), если <0, то эксцесс считается отрицательным (распределение низковершинно).

www.ekonomstat.ru

Линейный коэффицинт вариации

Линейный коэффицинт вариации — это отношение среднего линейного отклонение к средней арифместической:

С помощью линейного коэффицинта вариации можно сравнивать вариацию разных совокупностей, потому что в отличие от среднего линейного отклонения его значение не зависит от единиц измерения X.

В рассматриваемом примере про студента, который сдал 4 экзамена и получил следующие оценки: 3, 4, 4 и 5, линейный коэффициент вариации составит 0,5/4 = 0,125 или 12,5%.

Дисперсия

Дисперсия — это средний квадрат отклонений значений X от среднего арифместического значения. Дисперсию можно рассчитывать по формуле средней арифметической простой — получим дисперсию простую:

В уже знакомом нам примере про студента, который сдал 4 экзамена и получил оценки: 3, 4, 4 и 5, ранее уже была рассчитана средняя арифметическая = 4. Тогда дисперсия простая Д = ((3-4)²+(4-4)²+(4-4)²+(5-4)²)/4 = 0,5.

Если исходные данные X сгруппированы (имеются частоты f), то расчет дисперсии выполняется по формуле средней арифметической взвешенной — получим дисперисю взвешенную:

В рассматриваемом примере про студента, который сдал 4 экзамена и получил следующие оценки: 3, 4, 4 и 5, рассчитаем дисперсию взвешенную: Д = ((3-4)²*1+(4-4)²*2+(5-4)²*1)/4 = 0,5.

Если преобразовать формулу дисперсии (раскрыть скобки в числителе, почленно разделить на знаменатель и привести подобные), то можно получить еще одну формулу для ее расчета как разность средней квадратов и квадрата средней:

В уже знакомом нам примере про студента, который сдал 4 экзамена и получил следующие оценки: 3, 4, 4 и 5, рассчитаем дисперсию методом разности средней квадратов и квадрата средней: Д = (3²*1+4²*2+5²*1)/4-4² = 16,5-16 = 0,5.

Если значения X — это доли совокупности, то для расчета дисперсии используют частную формулу дисперсии доли:

.

Cреднее квадратическое отклонение

Выше уже было рассказано о формуле средней квадратической, которая применяется для оценки вариации путем расчета среднего квадратического отклонения, обозначаемое малой греческой буквой сигма:

Еще проще можно найти среднее квадратическое отклонение, если предварительно рассчитана дисперсия, как корень квадратный из нее:

В примере про студента, в котором выше рассчитали дисперсию, найдем среднее квадратическое отклонение как корень квадратный из нее: .

Квадратический коэффициент вариации

Квадратический коэффициент вариации — это самый популярный относительный показатель вариации:

Критериальным значением квадратического коэффициента вариации V служит 0,333 или 33,3%, то есть если V меньше или равен 0,333 — вариация считает слабой, а если больше 0,333 — сильной. В случае сильной вариации изучаемая статистическая совокупность считается неоднородной, а средняя величина — нетипичной и ее нельзя использовать как обобщающий показатель этой совокупности.

В примере про студента, в котором выше рассчитали среднее квадратическое отклонение, найдем квадратический коэффициент вариации V = 0,707/4 = 0,177, что меньше критериального значения 0,333, значит вариация слабая и равна 17,7%.

6. Виды рядов динамики. Методы расчета среднего уровня в рядах динамики

Ряды динамики — это ряды статистических показателей, характеризующих развитие явлений природы и общества во времени. Публикуемые Госкомстатом России статистические сборники содержат большое количество рядов динамики в табличной форме. Ряды динамики позволяют выявить закономерности развития изучаемых явлений.

Ряды динамики содержат два вида показателей. Показатели времени (годы, кварталы, месяцы и др.) или моменты времени (на начало года, на начало каждого месяца и т.п.). Показатели уровней ряда. Показатели уровней рядов динамики могут быть выражены абсолютными величинами (производство продукта в тоннах или рублях), относительными величинами (удельный вес городского населения в %) и средними величинами (средняя заработная плата работников отрасли по годам и т. п.). В табличной форме ряд динамики содержит два столбца или две строки.

Правильное построение рядов динамики предполагает выполнение ряда требований:

1. все показатели ряда динамики должны быть научно обоснованными, достоверными;

2. показатели ряда динамики должны быть сопоставимы по времени, т.е. должны быть исчислены за одинаковые периоды времени или на одинаковые даты;

3. показатели ряда динамики должны быть сопоставимы по территории;

4. показатели ряда динамики должны быть сопоставимы по содержанию, т.е. исчислены по единой методологии, одинаковым способом;

5. показатели ряда динамики должны быть сопоставимы по кругу учитываемых хозяйств. Все показатели ряда динамики должны быть приведены в одних и тех же единицах измерения.

Статистические показатели могут характеризовать либо результаты изучаемого процесса за период времени, либо состояние изучаемого явления на определенный момент времени, т.е. показатели могут быть интервальными ( периодическими ) и моментными. Соответственно первоначально ряды динамики могут быть либо интервальными, либо моментными. Моментные ряды динамики в свою очередь могут быть с равными и неравными промежутками времени.

Первоначальные ряды динамики могут быть преобразованы в ряд средних величин и ряд относительных величин (цепной и базисный). Такие ряды динамики называют производными рядами динамики.

Методика расчета среднего уровня в рядах динамики различна, обусловлена видом ряда динамики. На примерах рассмотрим виды рядов динамики и формулы для расчета среднего уровня.

studfile.net

2.7. Коэффициенты вариации

Вариация — это несовпадение значений одной и той же статистиче­ской величины у разных объектов в силу особенностей их собственного развития, а также различия условий, в которых они находятся. Вариация имеет объективный характер и помогает познать сущность изучаемого явления. Если средняя величина сглаживает индивидуальные различия, то вариация, наоборот, их подчеркивает, устанавливая типичность или не типичность найденной средней величины для конкретной статистической совокупности. Тем самым можно делать вывод о качественности подобранных статистических данных.

Вариация измеряется с помощью относительных величин, называе­мых коэффициентами вариации и определяемых в виде отношения среднего отклонения к средней величине.

Поскольку среднее отклоне­ние может определяться линейным и квадратическим способами, то соответствующими могут быть и коэффициенты вариации. Следова­тельно, коэффициенты вариации надо определять по формулам

– линейный; (1.28)

– квадратический. (1.29)

Значения коэффициента вариации изменяются от 0 до 1 и чем ближе он к нулю, тем типичнее найденная средняя величина для изучаемой статистической совокупности, а значит и качественнее подобраны статистические данные. При этом критериальным значением коэффициен­та вариации служит 1/3.

То есть средняя величина считается типичной для данной совокуп­ности при λ 0,333 или приν 0,333. В ином случае средняя величина не типична и требуется пересмотреть статистическую совокупность с целью включения в нее более объективных статистических величин.

Обычно квадратический коэффициент вариации несколько (примерно на 25%) больше линейного, рассчитанные по одним и тем же данным. А значит возможен случай, когда λ 0,333 и ν 0,333, тогда необходимо взять среднюю из этих коэффициентов и по ее значению сделать окончательный вывод о не/типичности найденной средней величины.

С помощью линейного коэффици­ента вариации принципиальный вывод о типичности или не типичности средней величины можно получить проще и быстрее, чем с помощью квадратического. Однако квадратический коэффициент применяется чаще, так как существует несколько способов для вычисления дисперсии.

У такого способа оценки вариации есть и существенный недостаток. Действительно, пусть, например, исходная совокупность рабочих, имеющих средний стаж 15 лет, со стандартным отклонением σ = 10 лет, «состарилась» еще на 15 лет. Теперь= 30 лет, а стандартное отклонение по-прежнему равно 10. Совокупность, ранее бывшая неоднородной (10/15*100= 66,7%), со временем оказывается, таким образом, вполне однородной (10/30*100 = 33,3 %).

Поэтому возможен дополнительный анализ статистической сово­купности с помощью коэффициента осцилляции, определяемого по формуле

, (1.30)

где R — размах вариации в виде разности наибольшего и наимень­шего значений в совокупности статистических величин. То есть

R = Х_мах –Х_min, (1.31)

где X_мax и X_min — максимальное и минимальное значения в совокупно­сти.

При упорядочении статистических величин в совокупности образу­ются группировочные интервалы. Тогда под обозначением ∆Х пони­мается размах интервала, а среднее интервальное значение обозначается Х_И.

В случае ориентировки только на квадратический коэффициент ва­риации могут применяться разные методы определения дисперсии.

studfile.net